Catarina tem 210 cartões numerados de 1 a 210.a) Quantos desses cartões tem um número que é múltiplo de 3?b) Quantos desses cartões tem um número par que não é múltiplo de 3?
Soluções para a tarefa
Primeiro, vamos descobrir quantos desses cartões são múltiplos de 3. Para isso, basta dividirmos 210 por 3 para encontrarmos 70. 70 desses cartões são múltiplos de 3.
Quantos desses cartões tem um número par que não é múltiplo de 3? Todo número divisível por 2 é par. Para sabermos quantos números divisíveis por 2 há em 210, basta dividirmos 210 por 2 para encontrarmos 105. 105 cartões tem número par, mas quantos desses 105 cartões não são múltiplos de 3?
Um número, para ser par e ao mesmo tempo ser múltiplo de três, deve ser divisível por 2 e por 3. O produto de 2 e 3 é 6. Então, dividimos 210 por 6 para achar 35. Dos 105 cartões com número par, 35 são múltiplos de 3, ou seja, 70 desses cartões (105 - 35 = 70) não são múltiplos de 3.
a) 70
b) 70
Todos os múltiplos de 3 de 1 a 210:
3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48,51,54,57,60,63,66,69,72,75,78,81,84,87,90,93,96,99,102,105,108,111,114,117,120,123,126,129,132,135,138,141,144,147,150,153,156,159,162,165,168,171,174,177,180,183,186,189,192,195,198,201,204,207,210
Todos os múmeros pares não divisíveis por 3 de 1 a 210:
2,4,8,10,14,16,20,22,26,28,32,34,38,40,44,46,50,52,56,58,62,64,68,70,74,76,80,82,86,88,92,94,98,100,104,106,110,112,116,118,122,124,128,130,134,136,140,142,146,148,152,154,158,160,164,166,170,172,176,178,182,184,188,190,194,196,200,202,206,208
a) Existem 70 cartões com números múltiplos de 3.
b) Existem 175 cartões com números pares que não são múltiplos de 3.
Progressão aritmética
Uma progressão aritmética é caracterizada por uma sequência de valores crescentes ou decrescentes, onde a diferença entre um valor e seu antecessor é sempre constante.
O termo geral da P.A. é dado por aₙ = a₁ + (n-1)·r, sendo r é a razão.
a) Os múltiplos de 3 entre 1 e 210 formam uma PA de razão 3. O primeiro destes termos será o próprio 3 e o último será 210, logo:
a₁ = 3
aₙ = 210
210 = 3 + (n - 1)·3
207 = 3·(n - 1)
n - 1 = 207/3
n = 70
b) Os múltiplos de pares são aqueles múltiplos de 6, logo, os números pares e múltiplos de 3 formam uma PA de razão 6, com primeiro termo 6 e último termo 210:
a₁ = 6
aₙ = 210
210 = 6 + (n - 1)·6
204 = 6·(n - 1)
n - 1 = 204/6
n = 35
Portanto, 210 - 35 = 175 números são pares e não múltiplos de 3.
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