Question

Caso 5:

Calcule as reações de apoio e trace os diagramas V, M (força cortante e momento fletor)​

OBS: Necessito do passo a passo por favor, agradeço desde já! ​​

Answer 1

Bom dia!

Lembrando algumas coisas que são importantíssimas:

Momento é uma rotação, e sua formula é $M=F.d$ (unidade $N.m$ no SI), adotarei momento positivo como anti-horário e negativo como horário.

Para entrar em equilíbrio a viga isostática deve ter as seguintes condições:

$\sum M=0$ (Somatório de todos os momentos sendo igual a zero)

$\sum F_y=0$ (Somatório das forças em $y$ iguais a zero, sendo

$\sum F_x=0$ (Somatório das forças em $x$ iguais a zero, sendo

Agora o problema se trata de um sistema de equações, pois temos 3 variáveis e 3 equações, e pelo número de variáveis ser o mesmo de equações haverá soluções em $\mathbb{R}$.

Antes de tudo, devemos decompor todas as forças em $x$ e $y$, ou se há cargas destribuídas, como nesse problema, é melhor antes transforma-lá em uma força concentrada, e lembrando que a carga distribuída retangularmente é $q.L$ e a distancia onde essa carga vai estar é $\frac{L}{2}$ sendo $L$ o comprimento então:

$F=q.L\\\\F=20.12\\\\F=240kN$

$D=\frac{L}{2} \\\\D=\frac{12}{2} \\\\D=6$

Assim a distância está 6m do apoio A ou B.

Eu particularmente gosto de começar pelo somatório de momentos, e escolher um ponto onde o momento de umas das variáveis seja 0 (uma das reações de apoio tenha momento 0), para resolver o problema de forma mais rápida e mais fácil.

Fazendo somatório de momentos em A:

$\sum M=0\\\\-(90.4)-(240.6)+12.Rb=0\\\\12.Rb=1800\\\\Rb=150kN$

Fazendo somatório de forças em Y (Adotando pra baixo negativo e pra cima positivo):

$\sum F_y=0\\\\-90-240+Rb+Ra=0\\\\-330+150+Ra=0\\\\-180+Ra=0\\\\Ra=180$

Como não há forças em X, então:

$\sum F_x=0$

Agora precisamos montar as formulas de esforço cortante e momento fletor, para fazer diagramas de esforço cortante e momento fletor.

Há duas sessões nesse problema, um de A até a força P, e outro da força P até B.

Assim primeiramente fazendo a equação de esforço cortante de A até P, chamando $V_{AP}$ a equação de esforço cortante, temos que:

$V_{AP}(x)=\int ydx\\\\V_{AP}(x)=\int -20dx\\\\V_{AP}(x)=-20x+C$

Fazendo $V_{AP}(0)$ obtemos $C$.

$V_{AP}(0)=C\\\\V_{AP}(0)=Ra \Rightarrow C=Ra=180kN$

Assim a equação de esforço cortante de A até P ($0\leq x <4$) é:

$V_{AP}(x)=-20x+180$

Para facilitar os calculos eu custumo fazer na expressão anterior (mas veja que na expressão anterior x não pode valer 4) tirar o valor da força concentrada, para não ficar muito abstrato, eu somente fiz $V_{AP}(4)$ e subtraí 90, da força concentrada, assim eu obtenho a constante $C$ de $V_{PB}$. Desculpe se essa parte pode estar confusa, mas você pode aplicar essa regra em todos os problemas que pode ter certeza que dará certo.

Como $V_{AP}(4)=100$, e temos uma força concentrada P, então vamos subtrair $C= V_{AP}(4)-90 \Rightarrow C=100-90 \Rightarrow C=10$ (lembrando que esse $C$ é necessário pra equação $V_{PB}$).

Fazendo a equação de esforço cortante de P até B, chamando $V_{PB}$ a equação de esforço cortante, temos que:

$V_{PB}(x)=\int ydx\\\\V_{PB}(x)=\int -20dx\\\\V_{PB}(x)=-20x+C$

E vimos anteriormente que $C=10$.

Assim a equação de esforço cortante de A até P ($4\leq x \leq 8$) é:

$V_{PB}=-20x+10$

Agora basta integrar os valores de $V(x)$ encontrados e acharemos os valores das equações de momento $M(x)$ das sessões.

A equação de momento fletor de A até P é:

$M_{AP}(x)=\int (V_{AP}) dx\\\\M_{AP}(x)=\int(-20x+180)dx\\\\M_{AP}(x)=-10x^2 + 180x +C$

O valor de C é 0 pois o momento na reação de apoio em x=0 é zero.

A equação de momento fletor de P até B é:

$M_{PB}(x)=\int (V_{PB}) dx\\\\M_{PB}(x)=\int(-20x+10)dx\\\\M_{PB}(x)=-10x^2 + 10x +C$

Podemos fazer C=560, pois perceba que $M_{AP}(4)=560$ nessa equação, e se fizer $M_{PB}(0)=C$ (Colocando o domínio $x$ de 0 a 8, sendo 0 o início do ponto P e 8 o valor de

Assim as equações de momento fletor ficam:

$M_{AP}(x)=-10x^2 + 180x$

$M_{PB}(x)=-10x^2 + 10x +560$

E para achar momento máximo ($M_{max}$) basta encontrar o Y do vertice ($Y_v$) da equação de $M_{PB}$, e lembrando da formula de

$Y_v=\frac{-\Delta}{4a}$

Assim:

$M_{max}=\frac{-\Delta}{4a}$ (da equação de segundo grau de $M_{PB}$

$M_{max}=\frac{-22500}{4.-10} \\\\M_{max}=562,5kN.m$

Vou anexar diagrama de momento fletor e esforço cortante aqui.