Question

cascalho a uma taxa de 30m3/min for- mando uma pilha na forma de cone com diâmetro da base e da altura sempre iguais. Quão rápido está crescendo a altura da pilha, quando sua altura é de 10m.

Answer 1

Olá.

Pelo enunciado temos sempre: 2r = h ⇒ r $\frac{h}{2}$

V = $\frac{лr ^{2} h}{3} \\ \\ \frac{лr²h}{12} \\ \\ \frac{dV}{dt} = \frac{ r.3h^{2} }{12} . \frac{dh}{dt} \\ \\ 30 = \frac{10 ^{2}.r }{4} . \frac{dh}{dt} \\ \\ \frac{dh}{dt} = \frac{6}{5r} \\ pes/minuto$

Answer 2

se a altura é igual ao diâmetro da base significa que o cone é equilátero. o problema nos diz  que o volume está crescendo a uma taxa de 30m³/min

portanto

dv/dt =30m³/min

h=2r ⇒ r= h/2

v= 1/3 .πr²h

v=1/3π.(h/2)².h

v= 1/3.π. h²/4 .h

v= 1/12 πh³

derivando em relação ao tempo temos

dv/dt= 1/12 π. 3h².dh/dt

dv/dt= 1/4π.h².dh/dt

quando h=10m temos

30= 1/4 .π.10². dh/dt

dh/dt = 4.30/π.10²

dh/dt = 120/π.10.10

dh/dt= 12÷2/π10÷2

dh/dt = 6/5π m/min