Question

Carlos fabricou uma bicicleta, tendo rodas de tamanhos distintos, com o raio da roda maior (dianteira) medindo 3dm, o raio da roda menor medindo 2dm e a distância entre os centros A e B das rodas sendo 7dm. As rodas da bicicleta, ao serem apoiadas no solo horizontal, podem ser representadas no plano (desprezando-se os pneus) como duas circunferências, de centros A e B, que tangenciam a reta r nos pontos P e Q, como indicado na figura.
1. a)
Determine a distância entre os pontos de tangência P e Q e o valor do seno do ângulo BPQ .
ˆ

Answer 1

Embora não esteja presente a figura, vamos lá:
O centro da roda maior é A, o centro da roda menor é B, o ponto de tangência da primeira com o solo é P e o ponto de tangência da segunda com o solo é Q.
Assim, conhecemos as distâncias
AB = 7 dm
AP = 3 dm
BQ = 2 dm
Precisamos, inicialmente, encontrar a distância PQ.
Para isto, vamos deslocar o segmento PQ paralelamente a si mesmo, até Q coincidir com B. O ponto P terá subido até P', que estará a 1 dm do ponto A. Assim, temos um triângulo retângulo AP'B, no qual conhecemos a hipotenusa AB, o cateto AP' e precisamos encontrar o cateto P'B = PQ.
Para isto, usaremos o teorema de Pitágoras:
AB² = AP'² + P'B²
P'B² = AB² - AP'²
P'B² = 7² - 1²
P'B² = 48
P'B = √48
P'B = PQ = 6,928 dm
Para calcularmos o valor do seno do ângulo BPQ, conhecemos no triângulo retângulo formado por estes três pontos o cateto BQ (2) e o cateto PQ (6,928). Como o seno do ângulo procurado é igual à razão entre o cateto oposto (BQ) e a hipotenusa (PB), teremos que calcular o valor da hipotenusa PB, novamente usando o teorema de Pitágoras:
PB² = PQ² + BQ²
PB² = 6,928² + 2²
PB² = 48 + 4 = 52
PB = √52
PB = 7,211
Assim, o seno do ângulo BPQ é igual a
BQ ÷ PB = 2 ÷ 7,211 = 0,277