Matemática, perguntado por barbiecapitalista, 10 meses atrás

CARAAAAAAAAAA ALGM ME AJUDA
Dado o polinômio P(x) = x^3 + (k + 1)x^2 + (k + 9)x + 9, com k ∈ R, determine:
a) O valor de k, sabendo-se que x = 1 é uma raiz de P(x).
b) Determine a soma das outras raízes.
EU PRECISO RESOLVER A B
A RESPOSTA DA A É K=-10

Soluções para a tarefa

Respondido por marcos4829
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Olá, bom dia ◉‿◉.

• Respostas:

a) O valor de k, sabendo-se que x = 1 é uma raiz de P(x).

Resposta: k = -10

b) Determine a soma das outras raízes.

Resposta: Sr = 8

• Desenvolvimento:

Temos o seguinte polinômio:

 \boxed{\sf{p(x) = x {}^{3}  + (k + 1)x {}^{2}  + (k + 9)x + 9} }

A questão nos diz que uma das raízes desse polinômio é (1), esse dado é crucial para acharmos o valor de "k", pois como (1) é a raiz isso quer dizer que se substituirmos o "x" por (1) devemos obter um valor igual a (0), então vamos fazer isso:

 \sf p(x) = x {}^{3}  + (k + 1).x{}^{2}  +  (k + 9)x + 9 \\ \sf p(1) = 1 {}^{3}  + (k + 1).1 {}^{2}  + (k + 9).1 + 9 \\  \sf0 = 1 + k + 1 + k + 9 + 9 \\ \sf 0 = \sf 2k + 20 \\  \sf2k =  - 20 \\  \sf k =  \frac{ - 20}{2}  \\   \boxed{ \sf k =  - 10}

Sabendo o valor de "k", vamos substituir nos seus respectivos locais para encontrarmos os coeficientes numéricos:

 \sf p(x) = x {}^{3}  + (k + 1).x{}^{2}  +  (k + 9)x + 9 \\ \sf p(x) = x {}^{3}  + ( - 10 + 1)x {}^{2}  + ( - 10 + 9)x + 9 \\  \sf p(x) = x {}^{3}  + ( - 9)x {}^{2}  + ( - 1)x + 9 \\  \boxed{\sf p(x) = x {}^{3}  - 9x {}^{2}  - x + 9}

Esse é de fato o polinômio ↑.

A questão também pergunta qual é a soma das duas outras raízes, já que ele é um polinômio de terceiro grau. Para encontrarmos as outras raízes, vamos usar o dispositivo Briot-ruffini, onde vamos colocar a raiz que possuímos na esquerda e os coeficientes do polinômio na direita:

 \begin{array}{r|c}1&1& - 9& - 1&9 \\ & 1& - 8 & - 9& \underbrace{(0)} _{ \sf resto} \\& \underbrace{x {}^{2}  - 8 x- 9}_{ \sf quociente}\end{array} \\  \\ 1.1 = 1 - 9 =  - 8 \\  - 8.1 =  - 8 - 1 =  - 9 \\  - 9.1 =  - 9 + 9 = (0)

O quociente teve como resultado uma equação do segundo grau, então vamos resolvê-la e encontrar as duas raízes que correspondem as raízes que procuramos.

\boxed{\sf x {}^{2}  - 8x - 9 = 0} \\  \\  \bigstar  \: \sf coeficientes :  \\ \begin{cases} \sf{ a = 1 }  \\ \sf{b =  - 8} \\  \sf{c} =  - 9\end{cases} \\  \\  \bigstar \:  \sf delta :  \\   \boxed{\sf{\Delta = b {}^{2}  - 4ac}} \\  \sf{ \Delta = ( - 8) {}^{2} - 4.1.( - 9)  } \\ \sf{ \Delta = 64 + 36} \\   \sf{\Delta = 100} \\  \\  \bigstar  \: \sf{bh \acute{a}skara} : \\  \\ \boxed{ \sf{{x =  \frac{ -b \pm \sqrt{\Delta} }{2.a}}}} \\   \\ \sf{x =  \frac{ - ( - 8) \pm \sqrt{100} }{2.1} } \\ \\   \sf{x =  \frac{8 \pm 10}{2} }  \longrightarrow  \begin{cases}  \sf x _1 =  \frac{8 + 10}{2} \\ \sf x_1 =  \frac{18}{2}  \\  \sf x_1 = 9 \\  \\  \sf x_2 =  \frac{8 - 10}{2} \\ \sf x_2 =  \frac{ - 2}{2} \\  \sf x_2 =  - 1\end{cases}

Temos então que as raízes são 9 e -1, para finalizar temos somá-las:

 \sf S_r= 9 + ( - 1) \\ \sf S_r = 9 - 1 \\  \boxed{\sf S_r = 8}

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️


barbiecapitalista: AJUDOU DMAIS SZ
marcos4829: (ノ◕ヮ◕)ノ*.✧
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