Capitalização composta significa que os juros produzidos num período serão acrescidos ao valor aplicado e no próximo período também produzirão juros. Nesse contexto, o Valor Atual significa o Valor aplicado, o valor presente, e, quando quisermos calculá-lo, utilizaremos a fórmula:
PV=FV/(1+i)n
Uma pessoa emprestou um valor de R$ ___________ para, após 24 meses, receber um total de R$ 150.699, 68. Sendo a taxa, capitalizável mensalmente, de 3,5% a.m.
Uma pessoa depositou, num banco, o valor de R$ ____________. Após 6 meses, o saldo era de R$ 9.918,21; passados mais 5 meses, o saldo passou a R$ 30.267, 98.
Sobre o valor presente, em sequência, os valores que completam corretamente essas lacunas são:
Considere os valores arredondados.
ALTERNATIVAS
97.325,00; 9.123,00.
23.940,00; 6.670,00.
66.000,00; 2.600,00.
86.000,00; 2.600,00.
90.496,00; 9.045,00.
Soluções para a tarefa
Para a fórmula dada, temos:
PV=FV/(1+i)^n
Onde:
PV = capital inicial
FV = montante
i = taxa de juros
n = número de períodos
1 - Uma pessoa emprestou um valor de R$ ___________ para, após 24 meses, receber um total de R$ 150.699, 68. Sendo a taxa, capitalizável mensalmente, de 3,5% a.m.
PV = ?
FV = 150.699,68
i = 3,5% a.m. = 0,035
n = 24 meses
Neste caso, basta aplicar a fórmula e descobrir o valor do capital inicial investido:
PV = 150.699,68 / (1+0,035)^24
PV = 150.699,68 / 1,035^24
PV = 150.699,68 / 2,283
PV = 66.009,50
O valor aproximado nas alternativas é 66.000,00
2 - Uma pessoa depositou, num banco, o valor de R$ ____________. Após 6 meses, o saldo era de R$ 9.918,21; passados mais 5 meses, o saldo passou a R$ 30.267, 98.
PV = ?
FV1 = 9.918,21
i = ?
n1 = 6 meses
FV2 = 30.267, 98
n2 = 5 meses
Neste caso, há duas incógnitas, o capital inicial e a taxa de juros.
Para calcular o valor do capital inicial, primeiramente deve-se calcular a taxa de juros aplicada.
Sabe-se que a taxa de juros aplicada do início até a primeira consulta de saldo, após 6 meses, é a mesma desde a primeira consulta até a última, após mais 5 meses.
Sendo assim, pode-se considerar o saldo aos 6 meses como montante inicial e o saldo após mais 5 meses como montante, para efeito de cálculo da taxa de juros, conforme abaixo:
PV = FV1 = 9.918,21
FV = FV2 = 30.267, 98
i = ?
n = n2 = 5 meses
Aplicando a fórmula:
PV=FV/(1+i)^n
9.918,21 = 30.267,98 / (1 + i) ^ 5
9.918,21 * (1 + i) ^ 5 = 30.267,98
(1 + i) ^ 5 = 30.267,98 / 9.918,21
(1 + i) ^ 5 = 3,052
1 + i = 5 3,052
1 + i = 1,25
i = 1,25 – 1
i = 0,25
A taxa de juros é de 0,25 a.m
Aplicando a fórmula para os primeiros 6 meses:
PV=FV/(1+i)^n
PV = 9.918,21 / (1+0,25)^6
PV = 9.918,21 / 1,25^6
PV = 9.918,21 / 3,81
PV = 2.603
O valor aproximado nas alternativas é 2.600,00
RESPOSTA: Os valores iniciais aproximados foram 66.000 e 2.600.