Question

Caminhando sempre para a direita ou para cima, sobre a rede da figura, de quantas maneiras um homem pode ir do ponto A até a reta B?

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Answer 1

*Para quem não pode ver a imagem, é uma rede 5x5 em que A é o vértice inferior esquerdo e B é o vértice superior direito.

Veja que todos os caminhos de A para B incluem, necessariamente, 5 movimentos para cima e 5 movimentos para a direita. Chamemos "cima" de C e "direita" de D. Desse modo, podemos, por exemplo, escrever um caminho de A a B assim:

CCCCCDDDDD

Perceba que os diferentes caminhos que podem ser feitos correspondem à permutação (troca de lugar) dos 5C's e dos 5D's acima. Basta fazer uma permutação com repetição destes elementos e teremos o resultado final:
$PR_{10}^{5,5} = \cfrac{10!}{5! \cdot 5!} = \cfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{5! \cdot 10 \cdot 4 \cdot 3} = 9 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 2 = 252$

Há 252 modos.


Obs: para outras oportunidades, agradeço se puder enviar o anexo como imagem em vez de docx.