Question

calule a integral,
2r/(4+r2)2 dr, no intervalo entre [0, 1]

Answer 1

$\int\limits^1_0 {( \frac{2r}{(4+r^{2}) }) ^{2} } \, dr$
Essa é a nossa integral.
Iremos fazer uma substituição de variavel, só para ficar mais fácil rs
Vamos chamar 4+r² de u
Quando derivamos u, temos:
du = (4+r²)`
du = 2r dr

Vamos substituir na integral:
$\int\limits^5_4 { \frac{1}{u} } \, du$

Como trocamos a variavel r pela variavel u, temos que trocar tbm os limites de integração:
Quando r=0, u=4
quando r = 1, u = 5
Para chegar nestes valores, basta substituir os limites de integração de r hein (4+r²).

E essa integral sabemos que é o ln da função, logo, temos:
ln(5)-ln(4),
que é a mesma coisa que ln(5/4) = 0,22
espero ter ajudado =)

Answer 2

Chamando de u = 4 + r²  ⇒   du = 2r dr

∫ du/u  = Ln |u| =   Ln |4 + r²|