Question

CÁLCULOOO

Qual é a imagem e domínio da função g(x,y) = cos(x+2y)?

Answer 1

Olá, quanto tempo

Primeiro umas observações sobre domínio e imagem

• Domínio

Para esse tipo de pergunta, dada uma certa expressão para a função, o que queremos saber é "para quais valores de x,y a expressão faz sentido?". O conjunto desses valores seria o 'domínio' da função.

Por exemplo, na função

$f(x,y) = \dfrac xy$

o domínio seria qualquer valor de x, e y diferente de zero. Isso porque a fração tem denominador y, e uma fração com denominador zero é indeterminada (ou seja, não faz sentido dizer 1/0 por exemplo). Na hora de dar a resposta recomendo escrever da seguinte forma:

\textrm{Domínio} =  \textrm{Dom}\, f = \{ (x,y) \in \mathbb R^2 |, y \neq 0\}

$\textrm{Dom\'inio} = \textrm{D}(f) = \{ (x,y) \in \mathbb R^2 | \, y \neq 0\}$

• Imagem

Para esse tipo de pergunta, dada uma expressão para a função, estamos interessados em saber "quais os possíveis valores essa expressão pode ter".  O conjunto desses valores seria a 'imagem' da função.

Por exemplo

$f(x,y) = x^2 + y^2$

A imagem seria qualquer número maior ou igual a zero. Isso porque não podemos obter como resposta um número negativo com a fórmula x²+y². Por outro lado, podemos obter zero usando x = y = 0. E podemos obter qualquer numero positivo. Por exemplo, 3 pode ser obtido usando x = √3 e y = 0. O normal é escrever a resposta como intervalos ou com a notação de conjunto:

$\textrm{Imagem} = \textrm{Im}(f) = \{ z \in \mathbb R|\, z \geq 0 \} = [0,\infty)$

Agora  voltando ao problema temos

$g(x,y) = \cos (x+2y)$

Para o domínio, observamos que o cosseno existe para qualquer numero real. Isso quer dizer que a expressão está bem definida. Ou seja, o domínio é qualquer valor de x e qualquer valor de y

$\textrm{D}(f) = \{ (x,y) \in \mathbb R^2\} = \mathbb R^2$

Já para a imagem, lembramos que o cosseno de um número real é sempre um valor entre -1 e 1. Assim, a imagem está dentro desse intervalo. Por outro lado, podemos obter qualquer número desse intervalo. Portanto:

$\textrm{Im}(f) = \{z \in \mathbb R|\, -1 \leq z \leq 1\} = [-1,1]$

Resposta:

Domínio: R²

Imagem: [-1,1]