Question

Cálculo

Use a Transformada de Laplace para resolver o seguinte Problema de Valor Inicial:

$y'' - 2y' + 2y = 0; \ \ y(0) = 1, \ y'(0) = 1$

Answer 1

A resposta do problema de valor inicial é

                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\mathcal{L}\left\{Y(s)\right\} = e^{t}\cos\left(t\right)\end{gathered}$

Podemos utilizar a transformada de Laplace para facilitar a resolução de equações diferencias ordinárias lineares, para isso faremos o uso da seguinte propriedade da transformada de Laplace

                                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\mathcal{L}\left\{\frac{d}{dt}f(t)\right\} = sF(s) - f(0)\end{gathered} }$

E para derivada segunda

                         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\mathcal{L}\left\{\frac{d^2}{dt^2}f(t)\right\} = s^2F(s) - sf(0) - f'(0)\end{gathered} }$

Dito isso, ao aplicar essa transformação teremos uma Y(s), que ao isolar ela, podemos escrever uma função no domínio de Laplace e quando fizer a antitransformada, ela será a solução do nosso problema de valor inicial.

Portanto, vamos de fato resolver o exercício, dada a equação diferencial

                                             $\Large\displaystyle\begin{gathered}y'' - 2y' + 2y = 0\end{gathered}$

Vamos aplicar a transformada de Laplace dos dois lados ficando assim

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\mathcal{L}\left\{y''\right\} - 2\mathcal{L}\left\{y'\right\} + 2\mathcal{L}\left\{y\right\} = \mathcal{L}\left\{0\right\}\end{gathered}$

E aplicando as propriedades de derivadas descritas acima temos

    $\Large\displaystyle\begin{gathered}s^2Y(s) - sf(0) - f'(0) -2\left(sY(s) - f(0)\right) + 2Y(s) = 0\end{gathered}$

Portanto nossa função Y(s) é

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}Y(s)=\frac{sf(0) + f'(0) - 2f(0)}{s^2 -2s + 2}\end{gathered}$

Como f'(0) = f(0) = 1 logo

                                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}Y(s)=\frac{s-1}{s^2 -2s + 2}\end{gathered}$

Agora precisamos expandir em frações parciais para fazer a antitransformada, ou seja, teremos que escrever como

                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}Y(s)=\frac{A_1}{s-p_1} +\frac{A_2}{s-p_2} \end{gathered}$

Onde p₁ e p₂ são os polos da função, para isso precisamos calcular as raízes do denominador, as raízes são:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\begin{cases}p_1 = 1-i\\ p_2 = 1+i\end{cases}\end{gathered}$

Como os polos são complexos isso implica que os resíduos A₁ e A₂ são conjugados, pois se os polos são conjugados os resíduos também são.

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}Y(s)=\frac{A_1}{s-\left(1-i\right)} +\frac{A_1^*}{s-\left(1+i\right)} \end{gathered}$

Pela fórmula do resíduo (com multiplicidade 1) vamos ter

                         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}A_1 =Y(s)\left(s-p_1\right)\Big|_{s = p_1}\\ \\A_1 =\left.\frac{(s-1)\cancel{\left(s-(1-i)\right)}}{\cancel{\left(s-(1-i)\right)}\left(s-(1+i)\right)}\right|_{s = 1-i}\\ \\A_1 =\left.\frac{s-1}{\left(s-(1+i)\right)}\right|_{s = 1-i}\\ \\A_1 = \frac{1}{2}\end{gathered} }$

E como os polos são conjugados o resíduo é o conjugado, logo

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}Y(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s-1+i} +\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s-1-i} \end{gathered}$

Para o caso de polos conjugados complexos sabemos que a antitransformada é dada como

           $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\mathcal{L}\left\{\frac{A_i}{s+\sigma_i + i\omega_i} + \frac{A_i^*}{s+\sigma_i - i\omega_i}\right\} = 2|A_i|e^{-\sigma_i t}\cos\left(\omega_i t - \phi_i\right)\end{gathered} }$

Onde

                                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}A_i = |A_i| e^{i\phi_i} \end{gathered}$

Neste caso vamos utilizar sempre o residuo no qual o polo tem parte complexa positiva. Como o resíduo não tem parte imaginária sua norma é

                                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}|A_1| = \frac{1}{2}\end{gathered}$

E seu argumento

                                        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\phi_i = \arctan\left(\frac{0}{\frac{1}{2}}\right) = 0\end{gathered} }$

Logo a nossa antitransformada é

                                         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\mathcal{L}\left\{Y(s)\right\} = e^{t}\cos\left(t\right)}\end{gathered} }$

Note que essa questão poderia ser facilmente resolvida com uma translação no domínio de Laplace, a resolução curta é

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\mathcal{L}\left\{e^{-\alpha t}f(t)\right\} = F\left(s+\alpha \right)\text{ e } \mathcal{L}\left\{\cos\left(\omega t\right)\right\} = \frac{s}{s^2+\omega^2}\end{gathered} }$

Logo

                              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\mathcal{L}\left\{e^{t}\cos\left(t\right)\right\} = \frac{s-1}{(s-1)^2+1}\end{gathered} }$

Embora o método que utilizei seja muito mais longo, ele vai resolver qualquer caso de polos complexos conjugados.

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