Question

Cálculo

Um modelo para o estudo da velocidade de queda v(t) de um paraquedista é supor que a força de resistência do ar seja dada por $R = b v(t)^{2}$, isto é, proporcional ao quadrado da velocidade. Como a força resultante é P + R, onde P = − mg é a força peso, pela Segunda Lei de Newton, temos que
$ma(t) = -mg + bv(t)^{2}$


Suponha que a aceleração da gravidade é $g = 10 m/s^{2}$, a massa conjunta do paraquedas e do paraquedista é m = 70 kg e que b = 700 kg/m. Da Segunda Lei de Newton segue que
$(*)\ \frac{v'(t)}{v(t)^{2}-1} =10,$
para todo tempo t ≥ 0.

a) Use a regra da substituição para transformar a integral $\int\limits {\frac{v'(t)}{(v(t)^{2}-1)} } \, dt$ em uma outra que não envolve a função $v(t)$ nem a derivada $v'(t)$. Calcule a integral obtida usando o método das frações parciais.

b) Sabendo que $v(t)^{2} - 1 \ \textgreater \ 0$, use a equação $(*)$ para determinar uma expressão de $v(t)$ em termos da função exponencial e de uma constante arbitrária.

c) Se o salto for efetuado de uma altura suficientemente grande, a velocidade com que o paraquedista alcança o solo é aproximadamente igual ao limite $\lim_{t \to \infty} v(t)$ Esse
limite depende da constante arbitrária?

Gabarito:

$a)\ \int\limits {\frac{v'(t)}{v(t)^{2}-1} } \, dt = \int\limits {\frac{1}{x^{2} -1} } \, dx = \frac{1}{2}\ ln\ (|\frac{x -1}{x+1}| )+R$

$b)\ v(t)=\frac{1+De^{20t}}{1-De^{20t} }$

$c)\ \lim_{t \to \infty} v(t)=-1,\ independente\ de\ D$

Answer 1

a)

Dada a função:

                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int \frac{v'(t)}{v(t)^2-1}\, dt\end{gathered}$

Podemos fazer a seguinte substituição:

                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}u = v(t) \Rightarrow du = v'(t)\,dt\end{gathered}$

O que implica

                                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \int \frac{1}{u^2-1}\,du\end{gathered}$

Logo temos uma integral que não depende de v(t) diretamente, para resolver essa integral vamos lembrar do produto notável:

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}a^2-b^2 = (a-b)(a+b)\end{gathered}$

Aplicando esse produto notável no denominador temos

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int \frac{1}{(u+1)(u-1)}\,du\end{gathered}$

E então podemos expandir como uma fração parcial

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int \frac{A}{u+1} + \frac{B}{u-1} \,du \end{gathered}$

Para descobrir A e B temos que resolver o sistema:

$\Large\displaystyle\begin{aligned}&\begin{cases}A + B = 0\\ B - A = 1\end{cases}\Rightarrow B = -B = \frac{1}{2} \end{aligned}$

Portanto nossa integral é:

                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int \frac{1}{2(u-1)} - \frac{1}{2(u+1)} \,du \end{gathered}$

Aplicando a propriedade que a integral da soma é igual a soma das integrais e que a multiplicação por escalar pode sair da integral temos:

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{1}{2}\int \frac{1}{u-1}\, du - \frac{1}{2}\int \frac{1}{u+1} \,du \end{gathered}$

A integral agora é imediata pois temos uma função linear no denominador, então podemos escrever o caso geral como

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int \frac{1}{ax+b}\, dx = \frac{\ln |ax+b |}{a} + C\end{gathered}$

Então aplicando essa regra de integração temos que

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int \frac{1}{u^2-1} = \frac{1}{2}\left(\ln \left|u-1\right| - \ln \left|u+1\right| \right) + C\end{gathered}$

Ou então pela propriedade do logaritmo podemos escrever que:

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int \frac{1}{u^2-1} = \frac{1}{2} \ln \left|\frac{u-1}{u+1}\right|\ + C\end{gathered}$

Podemos voltar para a variável original que tinhamos, ou seja:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int \frac{v'(t)}{v(t)^2-1}\, dt = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{v(t)-1}{v(t)+1}\right| + C\end{gathered}$

b)

Para resolver esse item vamos lembrar de uma propriedade de exponencial e^x, que seria:

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}e^{\ln(f(x))} = f(x), \quad f(x) \geq 0\end{gathered}$

Como temos a equação

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{v'(t)}{v(t)^2-1} = 10\end{gathered}$

Porém note que se fizermos a integral do lado direito, podemos igualar a expressão ao que calculamos anteriormente, ou seja:

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered}\int \frac{v'(t)}{v(t)^2-1}\,dt = 10\int\, dt\end{gathered}$

E com isso temos:

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{1}{2}\ln \left|\frac{v(t)-1}{v(t)+1}\right|+C_1= 10t + C_2\end{gathered}$

Apenas para simplificar vamos dizer que $C_3 = C_2 - C_1$, vamos dividir também em dois logaritmos e passar o meio multiplicando, dessa forma temos:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}\ln \left|v(t)-1\right| - \ln \left|v(t)+1\right| = 20t +C_3\end{gathered}$

Agora aplicando o que foi dito lá no inicio da resolução do item b, temos que:

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{v(t)-1}{v(t)+1} = e^{20t}e^{C_3}\end{gathered}$

Por conveniência vou chamar tudo que está do lado direito de K, dessa forma temos que:

                                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{v(t)-1}{v(t)+1} = K\\ \\v(t) = \frac{K+1}{1-K}\\ \\\end{gathered}$

Desfazendo a substitução temos então que

                                      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}v(t) = \frac{1+e^{20t}e^{C_3}}{1-e^{20t}e^{C_3}}\end{gathered} }$

E apenas para ficar igual ao gabarito vamos dizer que $e^{C_3} = D$, portanto

                                        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}v(t) = \frac{1+De^{20t}}{1-De^{20t}}\end{gathered} }$

c)

Vamos aplicar o limite quanto o tempo vai ao infinito, dessa forma temos:

                             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\lim_{t \to \infty}v(t) =\lim_{t \to \infty} \frac{1+De^{20t}}{1-De^{20t}}\\ \\\end{gathered} }$

Dividindo o numerador e denominador pelo termo que contém o expoente ficamos com:

                              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\lim_{t \to \infty}v(t) = \lim_{t \to \infty} \frac{De^{-20t}+1}{De^{-20t}-1} \\ \\\end{gathered} }$

Então quanto maior for t, menor será o valor daquele termo, ou seja, no infinito o termo vai a 0, sobrando apenas

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\lim_{t \to \infty}v(t) =\lim_{t \to \infty} \frac{0+1}{0-1} = -1 \\ \\\end{gathered}$

Espero ter ajudado

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