Question

Cálculo

$\int\limits { \frac{1}{x \sqrt{x^2+4} } } \, dx$

Answer 1

Olá

Vamos resolver essa integral por racionalização


$\displaystyle\mathsf{ \int \frac{dx}{x \sqrt{x^2+4} } }\\\\\\\mathsf{u= \sqrt{x^2+4} }\\\\\mathsf{du= \frac{\diagup\!\!\!\!2x}{\diagup\!\!\!\!2 \sqrt{x^2+4} }dx~~~~ ~~\Longrightarrow ~~du= \frac{x}{ \sqrt{x^2+4} }dx ~~~~ ~\Longrightarrow~~dx= \frac{ \sqrt{x^2+4} }{x} du}\\\\\\\mathsf{\int \frac{ \sqrt{x^2+4} }{x} \cdot \frac{1}{x \sqrt{x^2+4} }dx }\\\\\\\mathsf{\int \frac{ \sqrt{x^2+4} }{x^2 \sqrt{x^2+4}} dx}\\\\\\\text{Simplifica}\\\\\\\mathsf{\int \frac{dx}{x^2} }$


Vamos encontrar o valor do x², isolando-o, quando nos fizemos a substituição

$\displaystyle \mathsf{u= \sqrt{x^2+4} }\\\\\mathsf{u^2= x^2+4 }~~~~~ ~~~~ ~~\longleftarrow \text{Elevei os dois lados ao quadrado}\\\\\boxed{\mathsf{u^2-4=x^2} }}$



Vamos então substituir a expressão que encontramos no lugar do x²

$\displaystyle \mathsf{\int \frac{du}{u^2-4} }\\\\\\\text{Note que esta e uma integral de tabela}\\\\\\\mathsf{ \frac{1}{2a} \cdot \ell n \left|\frac{ x-a }{x+a} \right|+C}\\\\\\\text{Substituindo os valores}\\\\\\\mathsf{ \frac{1}{2\cdot 2} \cdot \ell n \left|\frac{ u-2 }{u+2} \right|}\\\\\\\mathsf{ \frac{1}{4} \cdot \ell n \left|\frac{ u-2 }{u+2} \right|}\\\\\\\text{Volta com a expressao inicial, no lugar do 'u'}\\\\\mathsf{u= \sqrt{x^2+4} }$

$\displaystyle= \boxed{\mathsf{ \frac{1}{4} \cdot \ell n \left|\frac{ \sqrt{x^2+4} -2 }{ \sqrt{x^2+4} +2} \right|}+C}\\\\\\\\\text{Ou se preferir, aplicando uma propriedade de ln}\\\\\mathsf{ln( \frac{a}{b} )=ln(a)-ln(b) }\\\\\\ \mathsf{ =\boxed{ \frac{1}{4}\left( \ell n \left| \sqrt{x^2+4}-2 \right| -\ell n | \sqrt{x^2+4}+2 |\right)+C}}$



Pode ser que o resultado da integral feita por substituição trigonométrica seja diferente, mas, a diferença entre 2 integrais é uma constante... Fica a seu critério escolher o método, no qual você julga mais fácil.