Question

Cálculo

Se ( n-6)! = 720, então n é igual a:

a)12

b)576

c)16

d)4

e)30

Answer 1

Resposta: A partir dos dados fornecidos pelo problema e dos devidos cálculos que realizaremos, é possível verificar que o valor “n” é igual a 12.

• Nosso objetivo é calcular o valor da variável "n" na seguinte equação que inclui um fatorial:

$\sf (n - 6)!= 720$

Agora vamos lembrar que em matemática, o fatorial de um número é igual ao produto de todos os inteiros positivos de 1 a esse número. Além disso, o fatorial de um número é representado por um ponto de exclamação (!) após o número.

Por exemplo, para determinar o fatorial do número n, também chamado de fatorial n, temos que multiplicar o número n por todos os inteiros antes dele (começando com um):

$\sf n! = 1\cdot 2\cdot \cdot 3\cdot \dots \cdot (n - 2)\cdot (n - 1)\cdot n$

Essa multiplicação também pode ser representada usando o operador produto da seguinte forma:

$\displaystyle\sf n!=\prod^n_{k =1} \limits k$

Então para encontrar o valor da variável "n" nesta equação devemos realizar o fatorial da expressão $\sf (n -6)!$, mas podemos ver que realizar todas essas operações seria um pouco complexo, então o que vamos fazer é recapitular todos os fatoriais de 1 a 6.

$\begin{cases}\sf 1! = 1~\rm{(i)}\\\\\sf 2! = 2\cdot 1=2~\rm{(ii)} \\ \\ \sf 3! =3 \cdot 2\cdot 1=6~\rm{(iii)} \\ \\ \sf \sf 4! = 4 \cdot3 \cdot2\cdot 1=24~\rm{(iv)} \\ \\ \sf 5! = 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120~\rm{(v})\\\\ \sf 6!= 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=720~\rm{(vi)}\end{cases}$

E de que me serve isso? Vamos ver porque recapitular todos os fatoriais de 1 a 6 é importante para a solução do problema, podemos ver que na expressão (vi) ou o fatorial de 6 é igual a 720 e se podemos ver em nossa equação com fatorial vemos que temos o número 720 na outra parte de sua igualdade, então isso serviu para simplificar essa equação dessa outra nova maneira:

$\sf\Longrightarrow ~ (n - 6)!= 6!\\\\ \sf\Longleftrightarrow ~ (n - 6)\cancel{!}=6\cancel{!}$

Agora o que podemos fazer é eliminar o fatorial de ambas as partes da nossa igualdade e fazendo isso obtemos essa equação que é ainda mais fácil de resolver:

$\sf \Longrightarrow ~(n - 6)= 6 \\\\ \sf \Longleftrightarrow~ n - 6= 6$

Embora não acreditemos nisso, essa mesma equação é a mesma equação que tínhamos desde o início do nosso problema e agora como já temos essa equação mais simples de resolver podemos despejar a variável "n" dessa nova equação de tal forma que obtemos:

$\sf \Longrightarrow~ n = 6 + 6\\\\ \sf \Longleftrightarrow ~ \boxed{\sf n=12}$

Conclusão: Feitos os cálculos chegamos à conclusão que o valor da variável “n” em nossa equação é igual a 12, isso significa que a alternativa a. é correta.