Question

Cálculo Numérico Computacional

ATIVIDADE 3

Interpolar uma função f(x) é aproximá-la por outra função g(x), selecionada entre uma classe de funções que satisfazem certas propriedades. Normalmente, precisamos recorrer a esta ferramenta em 2 situações: a primeira, quando são conhecidos apenas alguns valores numéricos da função para um conjunto de pontos, e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado; a segunda, quando a função em estudo tem uma expressão tal que operações como a diferenciação e a integração são difíceis (ou impossíveis) de serem realizadas (FERNANDES, 2015, p. 101).
FERNANDES, D. B. Cálculo numérico. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2015.
Considere a tabela a seguir, a qual relaciona o calor específico da água e a temperatura e, a partir do exposto acima, utilize a fórmula de Lagrange para determinar o polinômio interpolador de maior grau possível que modela o calor específico em função da temperatura. Em seguida, calcule o calor específico da água a 27,5 graus celsius.
Temperatura (graus celsius) 20 25 30 35
Calor específico 0,99907 0,99852 0,99826 0,99818
Alguém resolveu essa atividade ?

Answer 1

Resposta:

Resposta: P(X)=L0.f(x0) + L1.f(X1) + L2.f(X2) + L3.f(X3)Explicação passo a passo:POLIMONIO DE LAGRANGE DE GRAU 3P(X)=LO.f(x0) + L1.f(X1) + L2.f(X2)

Explicação passo-a-passo:

Infelizmente não estou a saber o resto. Desculpe-me

Answer 2

Resposta:

$P_3 (x)=-0,000000146667 x^3+0,0000168 x^2-0,000642333x+1,00637$

$P_3 (27,5)=0,99836$

Explicação passo a passo:

Como pode ser visto no enunciado, devemos utilizar os dados da temperatura 20, 25, 30 e 35 graus celsius, nos quais o calor especifico é igual a 0,99907; 099852; 0,99826 e 0,99818, respectivamente. Assim, analisando a expressão da interpolação de Lagrange,

P_n (x)=∑_(i=0)^n yi⋅ ∏_(j=0(j≠i)  )^n   ((x- x_j))/((x_i- x_j)) , colocaremos os valores do calor especifico como a variável dependente Pn(x) e os valores de temperatura como variável independente x.

$i$ $x_i$ $y_i$

0 20 0,99907

1 25 0,99852

2 30 0,99826

3 35 0,99818

Consequentemente, o nosso problema consiste em desenvolver o somatório e o produtório presentes na expressão dada. Como temos quatro pontos distintos, o grau máximo possível para o nosso polinômio interpolador será n=3. Assim, ficamos com:

P_3 (x)=∑_(i=0)^3 yi⋅  ∏_(j=0(j≠i)  )^3   ((x- x_j))/((x_i- x_j)) ,

$P_3 (x)=y_0. ((x-x_1)(x-x_2)(x-x_3))/((x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3))+ y_1. ((x-x_0)(x-x_2)(x-x_3))/((x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3))+ y_2. ((x-x_0)(x-x_1)(x-x_3))/((x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3))+ y_3. ((x-x_0)(x-x_1)(x-x_2))/((x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2))$

Substituindo temos:

$P_3 (x)=0,99907. ((x-25)(x-30)(x-35))/((20-25)(20-30)(20-35))+ 0,99852. ((x-20)(x-30)(x-35))/((25-20)(25-30)(25-35))+ 0,99826. ((x-20)(x-25)(x-35))/((30-20)(30-25)(30-35))+ 0,99818. ((x-20)(x-25)(x-30))/((35-20)(35-25)35-30))$

$P_3 (x)=-0,001332093(x^3-90x^2+2675x-26250)+ 0,00399408(x^3-85x^2+2350x-21000)-0,00399304(x^3-80x^2+2075x-17500)+0,001330907(x^3-75x^2+1850x-15000)$

Finalmente, podemos determinar o polinômio interpolador de maior grau possível que modela o calor específico em função da temperatura somando os termos semelhantes:

$P_3 (x)=-0,000000146667 x^3+0,0000168 x^2-0,000642333x+1,00637$

De posse do polinômio interpolador, substituímos x=27,5 e encontramos uma aproximação para o calor específico da água a 27,5 graus celsius:

$P_3 (27,5)=-0,000000146667(27,5)^3+0,0000168 .(27,5)^2-0,000642333.27,5+1,00637$

$P_3 (27,5)=0,99836$