Question

Cálculo Numérico:

1 - Dados os valores exato 0,135 e aproximado 0,15, determinar os erros relativo e absoluto.

2 - Sabemos que funções trigonométricas podem ser descritas como uma expansão em série de Taylor. Determine o erro de truncamento no cálculo de sen(30°) usando o segundo membro da série de Taylor.

3 - Ainda no exercício anterior, determine o erro absoluto e relativo neste cálculo.
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Answer 1

Utilizando as fórmulas dos erros e aplicando a série de Taylor, temos que:

1) Erro absoluto = 0,015 ; Erro relativo = 11,111 %

2) Erro de truncamento = 0,49967

3) Erro absoluto = 0,00033 ; Erro relativo = 0,065 %

Vamos agora então para a resolução da sua tarefa.

• Questão 1)

Desejamos determinar os erros relativo e absoluto, sendo o valor exato 0,135 e o valor aproximado 0,15. Para isso, temos as seguinte fórmulas:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\sf \Delta=\left|A-a\right|=E_{Absoluto} \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\sf \delta=\frac{E_{Absoluto}\cdot 100}{A} =E_{Relativo} \end{gathered} }$

 Sendo que:

A = Valor exato ;

a = Valor aproximado .

→ Sabendo disso, logo:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\sf \Delta=\left|A-a\right|\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\sf \Delta=\left|0,135-0,15\right|\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\sf \Delta=\left|-0,015\right|\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\boxed{\sf \Delta=0,015}\end{gathered}$

Com isso, temos que o erro relativo é igual a:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\sf \delta=\frac{0,015\cdot 100}{0,135} \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\sf \delta=\frac{0,015}{0,135} \cdot 100\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\boxed{\sf \delta=11,111 \ \%}\end{gathered}$

• Questão 2)

Desejamos encontrar o erro de truncamento no cálculo do sen(30º) através da expansão da série de Taylor. Para isso, vale ressaltar que a expansão do seno é dada da seguinte forma:

 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\sf \sin(x)=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(-1)^n\cdot x^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{gathered} }$

Dado que x = 30º , vamos transformar-lo em radianos.

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\sf \sin\left(\frac{\pi}{6} \right)=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(-1)^n\cdot \left(\frac{\pi}{6}\right)^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{gathered} }$

E como a questão quer usando no segundo membro da série de Taylor, logo:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\sf \sin\left(\frac{\pi}{6} \right)=\sum^{1}_{n=0}\frac{(-1)^n\cdot \left(\frac{\pi}{6}\right)^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{gathered} }$

Dessa forma, temos que:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\sf \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)= \frac{(-1)^0\cdot \left(\frac{\pi}{6}\right)}{(1)!} + \frac{(-1)^1\cdot \left(\frac{\pi}{6}\right)^{3}}{(3)!}\end{gathered} }$

Que simplificando:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\sf \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\pi }{6}-\frac{\pi ^3}{1296}\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\sf \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=0,49967}\end{gathered} }$

• Questão 3)

Nessa questão queremos encontrar o erro absoluto e o relativo do sen(30º), e sabemos que seu valor exato é igual a 0,49967, logo seu valor aproximado é igual a 0,5.

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\sf \Delta=\left|0,49967-0,5\right|\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\sf \Delta=\left|-0,00033\right|\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\boxed{\sf \Delta=0,00033}\end{gathered}$

Feito isso, seu erro relativo será igual a:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\sf \delta=\frac{0,00033\cdot 100}{0,500002} \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\sf \delta=\frac{0,00033}{0,500002}\cdot 100 \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\boxed{\sf \delta=0,065 \ \%}\end{gathered}$

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