Question

Cálculo integral: Funções trigonométricas.

Calcule a integral indefinida:

∫ cos(x)/cos(2x) dx

Answer 1

Bom dia, Lukyo.

Lembremos que:

cos(2x) = 1 - 2·sen²(x)

Assim a integral fica:

∫ cos(x) / (1 - 2·sen²x) dx

Se fizermos a substituição u = sen x, vem:

du = (cos x) dx

E a integral fica:

∫ du / (1 - 2u²)

∫ du / [(1 + √2u)(1 - √2u)]

Agora podemos separar em frações parciais:

1 / [(1 + √2u)(1 - √2u)] = A / (1 + √2u) + B / (1 - √2u)

1 / [(1 + √2u)(1 - √2u)] = [A(1 - √2u) + B(1 + √2u)]/[(1 + √2u)(1 - √2u)]

Igualamos os numeradores:

1 = A(1 - √2u) + B(1 + √2u)

Se fizermos u = 1/√2, teremos o mesmo valor nos dois membros.

1 = A(1 - 1) + B(1 + 1)

2B = 1

B = 1/2

Se fizermos u = -1/√2, também teremos uma identidade:

1 = 2A

A = 1/2

Então:

1/(1 - 2u²) = (1/2) / (1 + √2u) + (1/2) / (1 - √2u)

Então a integral pode ser separada como segue, já que sabemos que funções da forma 1 / (ax + b) são integráveis.

∫ du / (1 - 2u²) = ½∫du / (1 + √2u) + ½∫ du / (1 - √2u)

Fazendo a substituição v = 1 + √2u na primeira integral e w = 1 - √2u na segunda, temos que:

dv = √2du
dw = - √2du

∫ du / (1 + √2u) = (1/√2)∫ dv / v =(1/√2)ln|v| + C' =(1/√2)ln|1 + √2u| + C'

∫ du / (1 - √2u) = -(1/√2)∫dw / w = -(1/√2)ln|w| + C'' = -(1/√2)ln|1 - √2u| + C''

A integral fica:

∫ du / (1 - 2u²) = ½ [ (1/√2)ln|1 + √2u| - (1/√2)ln|1 - √2u| + C' + C'']

∫ du / (1 - 2u²) = 1/(2√2)[ln|(1 + √2u)/(1 - √2u)|] + C

Voltamos com u = sen x

∫ cos(x) / cos(2x) dx = (1/2√2) ln|(1 + √2sen x) / (1 - √2sen x)|+ C

Onde C = (C' + C'')/2 é uma constante de integração arbitrária.