Question

Cálculo: Integração por partes.

Calcule a integral indefinida:

∫ cos(ln x) dx

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Favor não usar números complexos.

Answer 1

Boa noite, Lukyo.


Calcular a integral ∫ cos(ln x) dx


Lembrando da integração por partes e regra da cadeia:


Partes: ∫ u dv = uv - ∫ v du

Regra da Cadeia: [f(g(x))]' = g'(x).f'(g(x))


Façamos o seguinte:

u = cos(ln x)
du = -sen(ln x) / x

dv = dx
v = x

Logo, vem:


∫ cos(ln x) dx = x.cos(ln x) - ∫ x . (-sen(ln x) / x) dx

∫ cos(ln x) dx = x.cos(ln x) + ∫ sen(ln x) dx


Vamos observar a segunda integral. Note que ela é semelhante à primeira, então vamos resolvê-la por partes novamente, fazendo:

U = sen(ln x)
dU = cos(ln x) / x

dV = dx
V = x

∫ sen(ln x) dx = x.sen(ln x) - ∫ cos(ln x)dx

Substituímos acima:


∫ cos(ln x) dx = x.cos(ln x) + x.sen(ln x) - ∫ cos(ln x) dx

Veja que podemos somar ∫ cos(ln x) dx dos dois lados e isolar essa integral:

2∫ cos(ln x) dx = x[cos(ln x) + sen(ln x)]



∫ cos(ln x) dx = (x / 2).[cos(ln x) + sen(ln x)] + C

Essa é a resposta.


Note que calculei uma integral restrita para C = 0 para depois generalizar para todas as famílias de funções que satisfazem à condição, por questões de simplificação dos cálculos.