Question

calculo II

∫x²senxdx

Answer 1

$I=\displaystyle\int{x^{2}\,\mathrm{sen\,}x\,dx}$


Método de integração por partes:

$\begin{array}{lcl} u=x^{2}&\Rightarrow&du=2x\,dx\\ \\ dv=\mathrm{sen\,}x\,dx&\Leftarrow&v=-\cos x\\ \\ \end{array}\\ \\ \\ \\ \displaystyle\int{u\,dv}=uv-\int{v\,du}\\ \\ \\ \int{x^{2}\,\mathrm{sen\,}x\,dx}=-x^{2}\cos x-\int{(-\cos x)\cdot 2x\,dx}\\ \\ \\ \int{x^{2}\,\mathrm{sen\,}x\,dx}=-x^{2}\cos x+\underbrace{\int{2x\cos x\,dx}}_{I_{1}}~~~~~~~\mathbf{(i)}$


Vamos calcular $I_{1}$ pelo método de integração por partes novamente:

$I_{1}=\displaystyle\int{2x\cos x\,dx}\\ \\ \\ \begin{array}{lcl} u=2x&\Rightarrow&du=2\,dx\\ \\ dv=\cos x\,dx&\Leftarrow&v=\mathrm{sen} x\\ \\ \end{array}\\ \\ \\ \\ \int{u\,dv}=uv-\int{v\,du}\\ \\ \\ \int{2x\cos x\,dx}=2x\,\mathrm{sen\,}x-\int{\mathrm{sen\,}x\cdot 2\,dx}\\ \\ \\ \int{2x\cos x\,dx}=2x\,\mathrm{sen\,}x-2\int{\mathrm{sen\,}x\,dx}\\ \\ \\ \int{2x\cos x\,dx}=2x\,\mathrm{sen\,}x-2\cdot (-\cos x)+C_{1}\\ \\ \\ \int{2x\cos x\,dx}=2x\,\mathrm{sen\,}x+2\cos x+C_{1}\\ \\ \\ I_{1}=2x\,\mathrm{sen\,}x+2\cos x+C_{1}~~~~~~\mathbf{(ii)}$


Substituindo $I_{1}$ encontrado acima em $\mathbf{(i)},$ temos

$\displaystyle\int{x^{2}\,\mathrm{sen\,}x\,dx}=-x^{2}\cos x+2x\,\mathrm{sen\,}x+2\cos x+C\\ \\ \\ \boxed{\begin{array}{c} \displaystyle\int{x^{2}\,\mathrm{sen\,}x\,dx}=(2-x^{2})\cos x+2x\,\mathrm{sen\,}x+C \end{array}}$