Question

Cálculo I - Problemas de Otimização

Pretende-se estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio de 900 m de largura até uma fábrica situada do outro lado do rio, 3.000 m rio abaixo. O custo para estender um cabo pelo rio é de R$ 5,00 o metro, enquanto que para estendê-lo, por terra custa R$ 4,00 o metro. Qual é o percurso mais econômico para o cabo?

Answer 1

Resposta:

Observe a figura

Função custo

C(x)=5√(900²+x²) + 4 * (3000-x)

Atenção , x tem que estar no intervalo [0,3000]

c'(x)=5x/√(900²+x²) -4

C'(x)=0 ==>√(900²+x²)=5x/4

√(900²+x²)²=(5x/4)²

900²+x²=25x²/16 ==>x²=16*900²/9

x=1200  ou x =-1200

Sabemos que x tem que estar no intervalo [0,3000]

C''=5*900²/(900²+x²)^(3/2) > 0 para todo x

Então 1200 é um ponto de mínimo

Vamos comparar com os pontos extremos de [0,3000] e o x encontrado

C(0)=5√(900²+0²) + 4 * (3000-0) =16500

C(3000)=5√(900²+3000²) + 4 * (3000-3000) =15660

C(1200)=5√(900²+1200²) + 4 * (3000-1200)=14700

Custo mínimo = R$ 14.700,00

Resposta:

Deverá percorrer 3000-1200=1800 por  terra e depois ir por água √(900²+x²) =√(900²+1200²)=1500 m, conforme a figura