Question

CÁLCULO I - LIMITES - CÁLCULO I - LIMITES - CÁLCULO I - LIMITES              
Determine constantes a, b e L para que a função abaixo seja contínua em IR.
$\left \{ {{ \frac{ x^{2} + ax + 3 }{x - 1} para x\ \textless \ 1 } \atop {{L} para x = 1 \atop {bx + 4} para x\ \textgreater \ 1} \right.$

Answer 1

 A função será contínua se $\lim_{x\to\,p}f(x)=f(p)$.
 
 Portanto, os limites laterias deverão ser iguais. Dessa forma, $\lim_{x\to\,p^{-}}f(x)=\lim_{x\to\,p}f(x)=\lim_{x\to\,p^{+}}f(x)$.
 
 Isto posto,

$\lim_{x\to\,p^{-}}f(x)=\\\\\\\lim_{x\to\,1^{-}}\frac{x^2+ax+3}{x-1}=$
 
 Como pode notar, a função não está definida quando $x=1$. Por isso, para que o limite dessa função exista, o numerador deverá ser divisível por $x-1$; então, seja $g(x)=x^2+ax+3$, temos que $g(1)=0$.
 
 Logo,

$g(x)=x^2+ax+3\\g(1)=1+a+3\\0=4+a\\\boxed{\boxed{a=-4}}$
 
 Segue que,

$\lim_{x\to\,1^{-}}\frac{x^2+ax+3}{x-1}=\\\\\\\lim_{x\to\,1^{-}}\frac{x^2-4x+3}{x-1}=\\\\\\\lim_{x\to\,1^{-}}\frac{(x-1)(x-3)}{x-1}=\\\\\\\lim_{x\to\,1^{-}}x-3=\\\\1-3=\\\\\boxed{-2}$
 
 Encontremos b:

$\lim_{x\to\,p^{-}}f(x)=\lim_{x\to\,p^{+}}f(x)\\\\\\\lim_{x\to\,1^{-}}f(x)=\lim_{x\to\,1^{+}}(bx+4)\\\\-2=1\cdot\,b+4\\\\-2=b+4\\\\\boxed{\boxed{b=-6}}$
 
 Por fim,

$\lim_{x\to\,p^{-}}f(x)=\lim_{x\to\,p}f(x)=\lim_{x\to\,p^{+}}f(x)\\\\\\\lim_{x\to\,1^{-}}f(x)=\lim_{x\to\,1}f(x)=\lim_{x\to\,1^{+}}f(x)\\\\\\-2=L=-2\\\\\boxed{\boxed{L=-2}}$