Question

Cálculo George B. Thomas edição 11 volume 2

Capítulo 14.3

Derivadas parciais

4) dada a função

$F(x,y) = 5xy-7x^2-y^2+3x-6y+2$

Encontre $\dfrac{\partial F}{\partial X}~e~ \dfrac{\partial F}{\partial Y}$

Answer 1

Derivando parcialmente a função dada obteremos os seguintes resultados

$\dfrac{\partial F}{\partial X}(5xy-7x^2-y^2+3x-6y+2)= \boxed{5y-14x+3}$

$\dfrac{\partial F}{\partial Y}(5xy-7x^2-y^2+3x-6y+2)= \boxed{5x-2y-6}$

• Mas, como obtermos esse resultado ?
  

Bem primeiro temos que saber o que é derivadas parciais

• Derivadas parciais são usadas para achar a taxa de variação de uma função quando a função possui mais de uma variável

• $\dfrac{\partial F}{\partial X}$ significa que vamos derivar a função com a variável sendo o X e o resto das variáveis serão constantes

• $\dfrac{\partial F}{\partial Y}$ significa que vamos derivar a função com a variável sendo o Y e o resto das variáveis serão constantes

Antes de começarmos a derivar vamos lembrar de algumas propriedades da derivação que serão uteis nessa questão

• DERIVADA DE UMA CONSTANTE

     $\dfrac{d}{dx}(N) =0$

• DERIVADA DE UMA POTÊNCIA

    $\dfrac{d}{dx}(X^N) =N\cdot X^{N-1}$

Tendo isso em mente vamos a questão, Primeiro vamos achar $\dfrac{\partial F}{\partial X}$

$\dfrac{\partial F}{\partial X}(5xy-7x^2-y^2+3x-6y+2)\\\\\\\dfrac{\partial F}{\partial X}(5xy)-\dfrac{\partial F}{\partial X}(7x^2)-\dfrac{\partial F}{\partial X}(y^2)+\dfrac{\partial F}{\partial X}(3x)-\dfrac{\partial F}{\partial X}(6y)+\dfrac{\partial F}{\partial X}(2)\\\\\\5y-14x^1-0+3-0-0\\\\\boxed{5y-14x+3}$

$\dfrac{\partial F}{\partial X}(5xy-7x^2-y^2+3x-6y+2)= \boxed{5y-14x+3}$

agora que encontramos $\dfrac{\partial F}{\partial X}$ vamos encontrar $\dfrac{\partial F}{\partial Y}$

$\dfrac{\partial F}{\partial Y}(5xy-7x^2-y^2+3x-6y+2)\\\\\\\dfrac{\partial F}{\partial Y}(5xy)-\dfrac{\partial F}{\partial Y}(7x^2)-\dfrac{\partial F}{\partial Y}(y^2)+\dfrac{\partial F}{\partial Y}(3x)-\dfrac{\partial F}{\partial Y}(6y)+\dfrac{\partial F}{\partial Y}(2)\\\\\\5x-0-2y+0-6-0\\\\\boxed{5x-2y-6}$

$\dfrac{\partial F}{\partial Y}(5xy-7x^2-y^2+3x-6y+2)= \boxed{5x-2y-6}$

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