Question

(CÁLCULO) Encontre a equação da reta normal à curva com equação X³ + Y³ - 2X + 3Y = 0 na origem.

Answer 1

Olá


Equação da reta normal:

RN: $\displaystyle \mathsf{y-y(x_o)~=~ -\frac{1}{y'(x_0)}(x-x_0) }$



Equação dada: 

 X³ + Y³ - 2X + 3Y = 0



Como passa pela origem, isso implica no ponto (0,0)


Não precisamos nem isolar o 'y' para obter a função, pois sabemos que a função no ponto (0,0), resultará em 0.



Agora, temos que derivar implicitamente para encontrar a função, e em seguida calcular no ponto (0,0).


OBS: Você pode isolar o 'y' e em seguida derivar normalmente, porém, dará muito mais trabalho.



 X³ + Y³ - 2X + 3Y = 0

Derivando implicitamente


3x³⁻¹ + 3y³⁻¹.y' - 2x¹⁻¹ + 3y' = 0

3x² + 3y²y' - 2 + 3y' = 0


Isolando y'


3y²y' + 3y' = -3x² + 2

y'(3y² + 3) = -3x² + 2


$\displaystyle\mathsf{y'= \frac{-3x^2+2}{3y^2+3} }$


Calculando a derivada no ponto (0,0)


$\displaystyle\mathsf{y'(0)= \frac{-3(0)^2+2}{3(0)^2+3} }\\\\\\\\\mathsf{y'(0)= \frac{2}{3} }$



Já temos todos os dados, então basta substituir na fórmula


$\displaystyle \mathsf{y-y(x_o)~=~- \frac{1}{y'(x_0)}(x-x_0) }\\\\\\\\\mathsf{y-0~=~ -\frac{1}{ \frac{2}{3} }(x-0) }\\\\\\\\\boxed{\mathsf{y=- \frac{3}{2}x }}\qquad\qquad\Longleftarrow\qquad\text{Reta normal a curva dada}$