Question

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL


Considere o problema de valor inicial t.cos(t)=(2x + $E^{3x}$)x', com x(0)=0. Detemine a solução implícita deste PVI.


Dica: Uma primitiva para x.cos(x) é cos(x )+ x.sen(x)+C.


Alternativas em anexo.

Answer 1

Resposta:

Alternativa 5.

Explicação passo a passo:

Encontremos a solução implícita da equação diferencial dada:

$t\,.\,cos(t) = (2x + e^{3x})\,.\,\frac{dx}{dt}\\\\t\,.\,cos(t)\,\,dt = (2x + e^{3x})\,\,dx\\\\\int {t\,.\,cos(t)} \, dt = \int {(2x + e^{3x})} \, dx\\\\cos(t) + t\,.\,sen(t) = x^2 + \frac{1}{3}e^{3x} + C\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(I)$

Para calcularmos o valor da constante de integração, vamos usar o fato de que $x = 0$ para $t = 0.$ Assim:

$cos(0) +0\,.\,sen(0) = 0^2 + \frac{1}{3}e^{3\,.\,0}+C\\\\1 + 0 = 0 + \frac{1}{3} + C\\\\C = 1 - \frac{1}{3}\\\\C = \frac{2}{3}$

Substituindo o valor de $C$ em $(I)$, temos:

$cos(t) + t\,.\,sen(t) = x^2 + \frac{1}{3}e^{3x} + \frac{2}{3}.$