Question

(CÁLCULO DE UMA VARIÁVEL - INTEGRAL)


Boa noite pessoal.

Estou precisando de ajuda com essa integral (foto anexada).

Se desse para somar t com módulo de t creio que não teria maiores problemas. Mas por módulo de t não ser necessariamente igual a t, complica um pouco a minha situação.

Tentei desembolar e não consegui.

Só consegui fingindo que o modulo de t seria igual a t, ficando a integral de 2t. sqrt(5+4t²)

E aí aplicando a substituição que u=4t²+5


Enfim. Muita explicação para no fim dizer: preciso de ajuda com essa integral.

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos resolver a seguinte integral definida:

$\displaystyle{\int_0^1(x+\sqrt{x^2})\cdot\sqrt{5+4x^2}\,dx$

Primeiro, está correto dizer que $\sqrt{x^2}=|x|,~\forall{x}\in\mathbb{R}$. Mas veja que a integral está definida para o intervalo fechado $[0,~1]$, onde o comportamento da função $|x|$ é igual a $x$, isto é, pode-se fazer $|x| =x$ para efeito de cálculo neste caso.

Então, temos:

$\displaystyle{\int_0^1(x+x)\cdot\sqrt{5+4x^2}\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^12x\cdot\sqrt{5+4x^2}\,dx$

Agora, fazemos uma mudança de variável por substituição: $u=4x^2+5$. Diferenciamos ambos os lados da igualdade em respeito à variável $x$ para substituir o diferencial $dx$.

$\dfrac{d}{dx}(u)=\dfrac{d}{dx}(4x^2+5)$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada é um operador linear, logo vale que: $\dfrac{d}{dx}(f(x)+g(x))=\dfrac{df}{dx}+\dfrac{dg}{dx}$ e $\dfrac{d}{dx}(c\cdot f(x))=c\cdot \dfrac{df}{dx}$.
• A derivada de uma função $u=u(x)$ é dita implícita e calculada de acordo com a regra da cadeia: $\dfrac{d}{dx}(u(x))=u'(x)\cdot \dfrac{du}{dx}$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $\dfrac{d}{dx}(x^n)=n\cdot x^{n-1}$.
• Consoante à regra acima, a derivada de uma constante é igual a zero.

Aplique a linearidade e a regra da cadeia

$(u)'\cdot \dfrac{du}{dx}=4\cdot \dfrac{d}{dx}(x^2)+\dfrac{d}{dx}(5)$

Aplique a regra da potência

$1\cdot u^{1-1}\cdot \dfrac{du}{dx}=4\cdot 2\cdot x^{2-1}+0$

Some os valores nos expoentes e multiplique os termos

$\dfrac{du}{dx}=8x$

Isolamos $dx$

$dx=\dfrac{du}{8x}$

Lembre-se que quando realizamos uma mudança de variáveis, devemos alterar também os limites de integração. Veja que quando $x=0,~u\rightarrow 5$ e quando $x=1,~u\rightarrow 9$. Substituindo estes termos na integral, temos:

$\displaystyle{\int_5^92x\cdot \sqrt{u}\cdot \dfrac{du}{8x}$

Multiplique os termos e simplifique a fração

$\displaystyle{\int_5^9\dfrac{\sqrt{u}}{4}\,du}$

Para resolver esta integral, lembre-se que:

• A integral é um operador linear, logo vale que $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot\int f(x)\,dx}$.
• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1$.
• A integral definida de uma função $f(x)$, contínua e integrável em um intervalo fechado $[a,~b]$, é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$.

Aplique a linearidade

$\displaystyle{\dfrac{1}{4}\cdot \int_5^9\sqrt{u}\,du}$

Aplique a regra da potência, sabendo que $\sqrt{u}=u^{\frac{1}{2}}$

$\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}~\biggr|_5^9$

Some os valores no expoente e denominador e multiplique os termos

$\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}~\biggr|_5^9\\\\\\ \dfrac{1}{\not{4}}\cdot \dfrac{\not{2}u^{\frac{3}{2}}}{3}~\biggr|_5^9\\\\\\ \dfrac{u^{\frac{3}{2}}}{6}~\biggr|_5^9$

Aplique os limites de integração

$\dfrac{9^{\frac{3}{2}}}{6}-\left(\dfrac{5^{\frac{3}{2}}}{6}\right)$

Calcule as potências e some as frações

$\dfrac{27}{6}-\dfrac{5\sqrt{5}}{6}\\\\\\ \dfrac{27-5\sqrt{5}}{6}~~\checkmark$

Este é o resultado desta integral.