Question

Cálculo de trabalho em cálculo 3
. Determine o trabalho realizado pela for¸ca F (x, y) = x(x + y)i + xy^2j ao mover uma part´ıcula da origem ao longo do eixo x para (1, 0), em seguida ao longo de um segmento de reta at´e (0, 1), e ent˜ao de volta `a origem ao longo do eixo y.

Answer 1

Primeiro passo é verificar se o campo é conservativo usando o calculo do rotacional:

$\\ Rot f = \frac{d(y(t))}{dx} - \frac{d(x(t))}{dy} \\ \\ Rot f = \frac{d(xy^2)}{dx} - \frac{d(x(x+y))}{dy} \\ \\ Rotf = y^2 - x$

Esse campo não é conservativo,

Agora,

Repare o seguinte caso:

Temos uma região triangular,

Como podemos observar, essa região é fechada, não apresenta restrições em seu domínio.

Com isso, podemos utilizar o teorema de green

Mas antes de tudo, iremos achar o valor da reta que passa no ponto (1,0) até (0,1)

Essa reta é fácil notar sem fazer calculo nenhum, 

Pois como ela corta em y = 1 , e passa em x = 1

y = 1 - x

|y
|
| \
|   \
|     \
--------------------x


Com o seguintes intervalos:


0 ≤ x ≤ 1
  
0 ≤  y ≤ 1 - x

mas, como Rotf = y² -x

Seria mais facil calcularmos a integral do tipo 2, com y = constante. 

0 ≤ y ≤ 1

0  ≤ x ≤ 1 - y


∫ F.dr = ∫ ∫ Rotf dA
c            R

Assim teremos:

$\\ = \int\limits^1_0 {} \, \int\limits^ \frac{1-y}{} _0 {(y^2-x)} \, dxdy \\ \\ = \int\limits^1_0 {} \, {(y^2x- \frac{x^2}{2} )|(0, 1-y)} \, dy \\ \\ = \int\limits^1_0 {} \, {y^2(1-y)- \frac{(1-y)^2}{2} dy$


$\\ = \int\limits^1_0 {} \, {y^2-y^3- \frac{(1-2y+y^2)}{2} dy$

$\\ = \int\limits^1_0 {} \, y^2-y^3 - \frac{1}{2} +y- \frac{y^2}{2} dy \\ \\ = \int\limits^1_0 {} \, (-y^3 - \frac{1}{2} +y+ \frac{y^2}{2} )dy \\ \\ = -\frac{y^4}{4} - \frac{1y}{2} + \frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{6} |(0,1) \\ \\ = -\frac{1}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} \\ \\ = -\frac{1}{4}+ \frac{1}{6} \\ \\ = \frac{-1.6+4.1}{4.6} \\ \\ = - \frac{2}{24} \\ \\ = - \frac{1}{12}$