Question

Cálculo de Área:

Exercício 2

Answer 1

Olá Carla!

Temos as funções:



0 ≤ x ≤ ∛y   Com limites:  0 ≤  y ≤ 8

Repare que a função X = ∛y é maior que X = 0 em todo o intervalo.

Sendo assim teremos:


5)

$\\ A = \int\limits^8_0{ \sqrt[3]{y} -0} \, dy \\ \\ A = \int\limits^8_0{ \sqrt[3]{y} } \, dy \\ \\ A = \int\limits^8_0{ y^ \frac{1}{3} } \, dy \\ \\ A = \frac{ y^ \frac{1}{3} ^+^1}{ \frac{1}{3} ^+^1} ](0,8) \\ \\ A = \frac{ y^ \frac{4}{3}}{ \frac{4}{3}} ](0,8) \\ \\ A = \frac{3 y^ \frac{4}{3}}{ 4} ](0,8) \\ \\ A = \frac{3 \sqrt[3]{y^4} }{ 4} ](0,8) \\ \\ A = \frac{3 \sqrt[3]{8^4} }{ 4} -0 \\ \\ A = \frac{3 \sqrt[3]{4096} }{ 4}$

$\\ A = \frac{3 *16 }{ 4} \\ \\ A = 3*4 \\ \\ A = 12u.a$

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6)

Temos as funções:

Y = x³
Y = 2x
Y = x

Vamos determinar a intersecção de cada função igualando as mesmas:

x³ = 2x

x³-2x = 0

x(x²-2) = 0

x = 0  ou  x² -2 = 0

x²= 2

x = +/- √2
-------------------------------

Agora a intersecção x³ com x:

x³ = x

x³-x=0

x(x²-1)=0

x=0 ou  x²-1=0

x²=1

x = +/- 1
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Repare que para integral de 0 a 1:

Y = 2x é maior que Y = X

Repare que para integral de 1 a √2:

Y = 2x é maior que Y = x³
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Então teremos a área do primeiro quadrante:


$\\ \int\limits^1_0 {2x-x} \, dx + \int\limits^r_1 {2x-x^3} \, dx \\ \\ \int\limits^1_0 {x} \, dx + \int\limits^r_1 {2x-x^3} \, dx \\ \\ \frac{x^2}{2} ](0,1) + \frac{2x^2}{2} - \frac{x^4}{4} ](1, \sqrt{2} ) \\ \\ \frac{x^2}{2} ](0,1) + x^2- \frac{x^4}{4} ](1, \sqrt{2} ) \\ \\ \frac{1^2}{2}- \frac{0^2}{2}+ [( \sqrt{2})^2- \frac{( \sqrt{2})^4 }{4} -(1^2- \frac{1^4}{4} ) \\ \\ \frac{1^2}{2}+2- \frac{4}{4} -1+ \frac{1}{4} \\ \\ \frac{1^2}{2}+2- 1-1+ \frac{1}{4}$

$\\ = \frac{1^2}{2}+2- 2+ \frac{1}{4} \\ \\ = \frac{1}{2}+0+ \frac{1}{4} \\ \\ = \frac{4*1+2*1}{2*4} \\ \\ = \frac{6}{8} \\ \\ = \frac{3}{4}$

Mas repare que área do terceiro quandrante é a mesma do primeiro. Sendo assim multiplicaremos por dois o resultado:

$\\ A = 2* \frac{3}{4} \\ \\ A = \frac{3}{2} u.a$

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Acharemos o ponto de interseção

Y = 1/x

Y = 2x

Y = x
---------

1/x = 2x

1 = x(2x)

1 = 2x²

x² = 1/2

x = +/- √2/2
-----------------

1/x = x

1 = x(x)

1 = x²

x = +/- 1
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Mesmo procedimento. Se calcularmos a area do primeiro quadrante e multiplicarmos por dois teremos a area total.

Mas, observe que:

Y = 2x é maior que Y = x de 0 a 1

e

Y = 1/x é maior que Y = x de 1 a √2/2

Mas repare que 1/x não é continua no intervalo x = 0
Temos uma integral imprópria.

Sendo assim teremos a área do primeiro quadrante:

$\\ A =2*[\int\limits^r_0 {2x-x} \, dx + \int\limits^1_r { \frac{1}{x}-x } \, dx ] \\ \\ \frac{A}{2} = \int\limits^r_0 {x} \, dx+\int\limits^1_r { \frac{1}{x}-x } \, dx \\ \\ \frac{A}{2} = \frac{x^2}{2} -0](0, \frac{ \sqrt{2} }{2})+ln|x|- \frac{x^2}{2} ](\frac{ \sqrt{2} }{2},1) \\ \\ \frac{A}{2} = \frac{ (\frac{ \sqrt{2} }{2} )^2}{2} +ln1- \frac{1}{2} -(ln\frac{ \sqrt{2} }{2}- \frac{ (\frac{ \sqrt{2} }{2} )^2}{2} )$

$\\ \frac{A}{2} = \frac{ 1}{4} +0- \frac{1}{2} -ln\frac{ \sqrt{2} }{2}+ \frac{ 1}{4} \\ \\ \frac{A}{2} = -ln\frac{ \sqrt{2} }{2} \\ \\ \frac{A}{2} =-[ln \sqrt{2} -ln2] \\ \\ \frac{A}{2} =-[ln2^ \frac{1}{2} -ln2] \\ \\ \frac{A}{2} = -[ \frac{1}{2} ln2-ln2] \\ \\ A = -2[\frac{1}{2} ln2-ln2] \\ \\ A = -ln2+2ln2 \\ \\ A = (ln2)u.a$