Question

Cálculo de Área:

Exercício 1

Answer 1

1)

Repare que:

x² > 2x-x²  de zero até o ponto de intersecção.

Sendo assim, acharemos o ponto igualando-se as funções.


$\\ x^2 = 2x-x^2 \\ \\ 2x^2-2x=0 \\ \\ 2x(x-1)=0 \\ \\ 2x=0 \\ x=0 \\ \\ ou \\ \\ x-1=0 \\ x=1$

O ponto procurado é x = 1

Para o intervalo de zero a 1 função:

Y = x² é maior que Y = 2x-x²

portanto teremos:


$\\ A = \int\limits^1_0 {2x-x^2-(x^2)} \, dx \\ \\ A = \int\limits^1_0 {2x-2x^2)} \, dx \\ \\ A = \frac{2x^1^+^1}{1+1} - \frac{2x^2^+^1}{2+1} ](0,1) \\ \\ A = x^2- \frac{2x^3}{3}](0,1) \\ \\ A = 1^2- \frac{2*1^3}{3}-0 \\ \\ A = \frac{3-2}{3} \\ \\ A = \frac{1}{3} u.a$

---------------------------------------------

2)

Teremos que determinar os pontos de intersecção primeiramente:

4x-x²=-x
x²-4x-x=0
x²-5x=0
x(x-5) =0
x = 0 e x = 5
----------------------------

Repare que a função:

Y = 4x-x² é maior que Y = -x em todo o intervalo.

Sendo assim teremos:

$\\ A = \int\limits^5_0 {4x-x^2-(-x)} \, dx \\ \\ A= \int\limits^5_0 {-x^2+5x} \, dx \\ \\ A = - \frac{x^2^+^1}{2+1} +\frac{5x^1^+^1}{1+1} ](0,5) \\ \\ A = - \frac{x^3}{3} +\frac{5x^2}{2} ](0,5) \\ \\ A = - \frac{5^3}{3} +\frac{5*5^2}{2} -0 \\ \\ A = -\frac{125}{3} + \frac{125}{2} \\ \\ A =-\frac{64}{3} +40 \\ \\ A = \frac{-250+375}{6} \\ \\ A = \frac{125}{6} u.a$

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3)

Acharemos o ponto de irtersecção:

x²=√x

(x²)² = (√x)²

x⁴ = x

x⁴-x = 0

x(x³-1) = 0

x = 0 ou x³-1 = 0

x³-1 = 0
x³=1
x =1
---------------------------

Olhando o gráfico veremos que:

x² < √x nesse intervalo

∵

$\\ A = \int\limits^1_0 { \sqrt{x}-x^2 } \, dx \\ \\ A = \int\limits^1_0 {x^ \frac{1}{2}-x^2 } \, dx \\ \\ A = \frac{x^ \frac{1}{2} ^+^1}{ \frac{1}{2} +1}-\frac{x^2^+^1}{2+1} ](0,1) \\ \\ A = \frac{x^ \frac{3}{2} }{ \frac{3}{2} }-\frac{x^3}{3} ](0,1) \\ \\ A = \frac{2 \sqrt{x^3} }{3} -\frac{x^3}{3} ](0,1) \\ \\ A = \frac{2 \sqrt{1^3} }{3} - \frac{1^3}{3} -0 \\ \\ A = \frac{1}{3} u.a$

----------------------------------------

4)

Vamos achar o ponto de intersecção:

2y²-4 = y²

2y²-y²-4=0

y²-4=0

y²=4

y = 2 ou y = -2

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Olhando no gráfico veremos que:

y² > 2y²-4

Calcularemos a integral de 0 a 2 na direção de y multiplicada por 2, já que a area abaixo do y = 0  é simétrica a parte decima.


$\\ A = 2* \int\limits^2_0 {y^2-(2y^2-4)} \, dx \\ \\ A = 2* \int\limits^2_0 {-y^2+4} \, dx \\ \\ A = 2*(- \frac{y^2^+^1}{2+1} +4y)](0,2) \\ \\ A = 2*(- \frac{y^3}{3} +4y)](0,2) \\ \\ A = 2*(- \frac{8}{3} +8-0) \\ \\ A = 2*( -\frac{8}{3} +8) \\ \\ A = 2*( \frac{-8+24}{3} ) \\ \\ A = \frac{2*16}{3} \\ \\ A = \frac{32}{3} u.a$