Question

(Cálculo) Calcule a área da região do plano xy delimitada pelas curvas y = 4x^3 e y = 28 - 4x^3 e pelas retas x = 0 e x = 1.

Answer 1

Olá, bom dia.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre integrais múltiplas.

A área da região de um plano $z(x,~y)$, limitado pelas funções $f(x)$ e $g(x)$, contínuas no intervalo fechado $[a,~b]$, onde $f(x)>g(x)$ é calculado pela integral dupla: $\boxed{\displaystyle{\iint z\,dA=\int_a^b\int_{g(x)}^{f(x)} z\,dy\,dx}}$.

Devemos calcular a área da região do plano $xy$, delimitada pelas curvas $y=4x^3$ e $y=28-4x^3$ e pelas retas $x=0$ e $x=1$.

Observe que no intervalo limitado pelas retas $x=0$ e $x=1$, $28-4x^3>4x^3$. Assim, a área da região do plano será calculada pela integral dupla:

$\displaystyle{\int_0^1\int_{4x^3}^{28-4x^3} xy\,dy\,dx}$.

Para calcular a integral mais interna, consideremos $x$ como uma constante, visto que a função a ser integrada diz respeito à variável $y$.

Assim, teremos:

$\displaystyle{\int_0^1x\cdot\int_{4x^3}^{28-4x^3} y\,dy\,dx}$.

Lembre-se que:

• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int y^n\,dy=\dfrac{y^{n+1}}{n+1}+C}$.
• A integral definida de uma função, contínua e limitada por duas funções ou em um intervalo é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_{g(x)}^{f(x)} f(y)\,dy=F(y)~\biggr|_{g(x)}^{f(x)}=F(f(x))-F(g(x))}$.
• A integral de uma soma de funções é igual a soma das integrais das funções.

Aplique a regra da potência

$\displaystyle{\int_0^1x\cdot\left(\dfrac{y^{1+1}}{1+1}\right)~\biggr|_{4x^3}^{28-4x^3}\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^1 x\cdot\dfrac{y^2}{2}\biggr|_{4x^3}^{28-4x^3}\,dx}$

Aplique os limites de integração

$\displaystyle{\int_0^1x\cdot\left(\dfrac{(28-4x^3)^2}{2}-\dfrac{(4x^3)^2}{2}\right)\,dx}$

Calcule as potências e some as frações

$\displaystyle{\int_0^1x\cdot\left(\dfrac{784-224x^3+16x^6}{2}-\dfrac{16x^6}{2}\right)\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^1x\cdot\left(\dfrac{784-224x^3}{2}\right)\,dx}$

Simplifique a fração e efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\displaystyle{\int_0^1x\cdot(392-112x^3)\,dx}\\\\\\ \displaystyle{\int_0^1 392x-112x^4\,dx}$

Aplique a regra da soma

$\displaystyle{\int_0^1392x\,dx-\int_0^1112x^4\,dx}$

Aplique a regra da constante

$\displaystyle{392\cdot\int_0^1x\,dx-112\cdot\int_0^1x^4\,dx}$

Aplique a regra da potência

$392\cdot\dfrac{x^{1+1}}{1+1}-112\cdot\dfrac{x^{4+1}}{4+1}~\biggr|_0^1\\\\\\ 392\cdot\dfrac{x^2}{2}-112\cdot\dfrac{x^5}{5}~\biggr|_0^1\\\\\\ 196x^2-\dfrac{112x^5}{5}~\biggr|_0^1$

Aplique os limites de integração

$196\cdot1^2-\dfrac{112\cdot1^5}{5}-\left(196\cdot0^2-\dfrac{112\cdot0^5}{5}\right)\\\\\\ 196-\dfrac{112}{5}$

Some os valores

$\dfrac{980-112}{5}\\\\\\ \dfrac{868}{5}~\bold{u.~a}$

Esta é a área da região do plano limitada por estas curvas neste intervalo.