Question

[Cálculo A]
Utilizando a regra da cadeira, calcule a seguinte derivada:
d/dx [(2x+1)^x] (Meu problema até então foi nessa)
Pra tirar o "x" expoente, já que está variando, usei ln(2x+1), mas o "x" expoente não teria que 'cair'?
Ficaria então x.(2x+1)^x.ln(2x+1), mas no gabarito só tem [(2x+1)^x].ln(2x+1).
Se puderem explicar, ficarei grato!! :)

Answer 1

y=(2x+1)^x

ln y = ln (2x+1)^x

ln y =x * ln (2x+1)

y =e^(x * ln (2x+1))

dy/dx = (x * ln (2x+1))' * e^(x * ln (2x+1))

dy/dx = (x * ln (2x+1))' * y

dy/dx = (x * ln (2x+1))' * (2x+1)^x

dy/dx = ((x)' * ln (2x+1)+x * [ln (2x+1)]') * (2x+1)^x

***[ln (2x+1)]' =(2x+1)'/(2x+1)  =2/(2x+1)

dy/dx = ( 1 * ln (2x+1)+x * 2/(2x+1)) * (2x+1)^x

dy/dx = [ln (2x+1)+2x/(2x+1)] * (2x+1)^x

Answer 2

A derivação logarítmica consiste em aplicar o logaritmico natural em ambos os lados de uma função. Consideremos a função como sendo
$y= (2x + 1)^{x}$
Logo,

$ln \: y = ln \: (2x + 1)^{x}$
Pela propriedade do logaritmico poderemos passar o expoente x multiplicando o ln. Então,

$ln \: y = x \: . \: ln \: (2x + 1)$
Derivando ambos os membros, temos:

$\frac{1}{y} . \frac{dy}{dx} = ln \: (2x + 1) + \frac{1}{2x + 1} . \: 2x$
Multiplicando por y con o objetivo de cancelar o y do lado esquerdo, obtemos

$\frac{dy}{dx} = y(ln(2x + 1) + \frac{2x}{2x + 1} )$
Ou seja,

$\frac{dy}{dx} = (2x + 1)^{x} (ln(2x + 1) + \frac{2x}{2x + 1} )$
Enfim, essa é a resposta, espero ter ajudado.