Question

Calculo a integral definida
∫10x2√x3dx

Answer 1

$seja\ \ u=x^3\ \Rightarrow\ du=3x^2dx\\\\\int {10x^2\sqrt{x^3}} \, dx\\\\\int{\frac{10}{3}.3x^2\sqrt{x^3}} \, dx\\\\\frac{10}{3}\int{\sqrt{u}.du}\\\\\frac{10}{3}.\frac{2}{3}.u^{\frac{3}{2}}\\\\\frac{20}{9}(x^3)^{\frac{3}{2}}\\\\\frac{20}{9}.x^{\frac{9}{2}}+C,\ \ C\in\Re$

Answer 2

De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado, podemos afirma que

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \int 10x^{2} \sqrt{x^3} \: dx = \dfrac{20}{9} \: x^{4}\sqrt{x} +C } }$

Se $\textstyle \sf \sf F(x)$  é uma primitiva de $\textstyle \sf \sf f(x)$, a expressão $\textstyle \sf \sf F(x) +C$ é chamada de integral indefinida da função $\textstyle \sf \sf f(x)$ e é denotada por:

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{ \int f (x) \: dx = F (x) + C, \: onde ~ ~ F'(x) = f(x) } }$

Integrais imediatas:

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \int \: dx = x + C }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \int x^n \: dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}\:, com ~ n \neq -\:1 }$

Propriedades da integral indefinida para resolver.

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \int k \: dx = k \int dx, \: \: \forall \: k \in \mathbb{R} }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \int \big[ f(x) + g(x) \big] \: dx = \int f(x) \: dx + \int g(x)\: dx }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int 10x^{2} \sqrt{x^3} \: dx } }$

Aplicando a definição de integral, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int 10x^{2} \sqrt{x^3} \: dx = 10 \int x^{2} \cdot x^{3/2} \: dx } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int 10x^{2} \sqrt{x^3} \: dx = 10 \int x^{2 + 3/2} \: dx } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int 10x^{2} \sqrt{x^3} \: dx = 10 \int x^{4/2 + 3/2} \: dx } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int 10x^{2} \sqrt{x^3} \: dx = 10 \int x^{7/2 } \: dx } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int 10x^{2} \sqrt{x^3} \: dx = 10 \cdot \dfrac{x^{7/2+1}}{7/2+1} +C } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int 10x^{2} \sqrt{x^3} \: dx = 10 \cdot \dfrac{x^{7/2+2/2}}{7/2+2/2} +C } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int 10x^{2} \sqrt{x^3} \: dx = 10 \cdot \dfrac{x^{9/2}}{9/2} +C } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int 10x^{2} \sqrt{x^3} \: dx = 10 \cdot \dfrac{2}{9} \cdot x^{9/2} +C } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int 10x^{2} \sqrt{x^3} \: dx = 10 \cdot \dfrac{2}{9} \cdot \sqrt{x^9} +C } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int 10x^{2} \sqrt{x^3} \: dx = 10 \cdot \dfrac{2}{9} \cdot \sqrt{x^8 \cdot x} +C } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int 10x^{2} \sqrt{x^3} \: dx = 10 \cdot \dfrac{2}{9} \cdot \sqrt{x^8} \cdot \sqrt{x} +C } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \int 10x^{2} \sqrt{x^3} \: dx = 10 \cdot \dfrac{2}{9} \cdot x^4 \cdot \sqrt{x} +C } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \int 10x^{2} \sqrt{x^3} \: dx = \dfrac{20}{9} \: x^{4}\sqrt{x} +C }$

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