Question

Cálculo 3 teorema do divergente

F.ds; ou seja, o fluxo de F através de S, onde F(x,y,z)= ze^yi + y^3j + 3zx^2k e S e a superfície do sólido limitado pelo cilindro x^2+y^2=1 e pelos planos z= - 1 e z = 2

Gab:9π/2

Answer 1

Pelo teorema do divergente é bem mais simples.

Segundo "Gaus" 

A integral do fluxo de uma superfície é igual a integral tripla calculado sobre o divergente de F.

Então:

$\\ F(x,y,z) = ze^yi +y^3j+3zx^2k \\ \\ \frac{d(ze^y)}{dx} = 0 \\ \\ \frac{d(y^3)}{dy} = 3y^2 \\ \\ \frac{d(3zx^2)}{dz} = 3x^2$
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Divergente = 3y²+ 3x²

Divf = 3(x²+y²)

A região é um cilindro entre "Z = -1 e Z = 2"

Calculando em coordenadas cilíndricas que é uma extensão da polar.

$\\ x = rCos \alpha \\ y = rSen \alpha \\ \\ 0 \leq r \leq 1 \\ 0 \leq \alpha \leq 2 \pi$

O div(f) deve estar escrito em coordenada cilíndricas.

divf = 3(y²+x²)

div(f) = 3r²
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Logo, o fluxo procurado é:


$\\ \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {} \, \int\limits^1_0 {} \, \int\limits^2_ \frac{-1}{} {(3r^2)} \, rdzdrd \alpha \\ \\ = 3 \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {} \, \int\limits^1_0 {} \, \int\limits^2_ \frac{-1}{} {(r^3)} \, dzdrd \alpha \\ \\ = 3 \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {} \, \int\limits^1_0 {} \, zr^3|(-1,2)rdrd \alpha \\ \\ =3 \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {} \, \int\limits^1_0 {} \, 3r^3drd \alpha$


$\\ =9 \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {} \, \int\limits^1_0 {} \, r^3drd \alpha \\ \\ =9 \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {} \, \frac{r^4}{4} |(0,1)d \alpha \\ \\ = \frac{9}{4} \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {} \, d \alpha \\ \\ = \frac{9}{4} . \alpha |(0,2 \pi ) \\ \\ = \frac{9 \pi }{2}$