Question

Calculo 3 teorema de green
F.dr, onde C é o triÂngulo de (0,0) a (0,4) a (2,0) a (0,0) e f(x,y)=(ycosx-xysenx)i +(xy+xcosx)j

Answer 1

Seja $C$ a curva dada. Como vemos no gráfico, ela não está orientada positivamente (está no sentido horário). Para aplicar o Teorema de Green, devemos integrar na curva reversa, e usar a relação

$\displaystyle\int_{C}F\cdot dC=-\displaystyle\int_{-C}F\cdot d(-C)$

Ou seja, só trocamos o sinal da integral.
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Sendo T a área limitada por $C$ (triângulo), temos, pelo Teorema de Green:

$\displaystyle\int_{C}F\cdot dC=\int_{C}P\,dx+Q\,dy=-\iint_{T}\bigg[\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}\bigg]\,dx\,dy$

Onde $F(x,y)=(P,Q)=(y\,cos(x)-xy\,sen(x),~xy+x\,cos(x))$

Encontrando as derivadas parciais:

$\dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(xy+x\,cos(x))=y+cos(x)-x\,sen(x)\\\\\\\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(y\,cos(x)-xy\,sen(x))=cos(x)-x\,sen(x)$

Daí

$\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=y+cos(x)-x\,sen(x)-[cos(x)-x\,sen(x)]=y$

Então:

$\displaystyle\int_{C}F\cdot dC=-\iint_{T}y\,dx\,dy$

Agora, vamos encontrar a equação da reta que contém a hipotenusa do triângulo

Como a reta passa por $(0,4)$ e $(2,0)$, temos a seguinte equação: $y=-2x+4$

Logo, podemos pensar em x variando em extremos fixos ($0\le x\le2$) e, para cada x fixado, y varia de 0 até a reta dada

Portanto, pelo Teorema de Fubini, temos

$\displaystyle\int_{C}F\cdot dC=-\int_{0}^{2}\left[\int_{0}^{-2x+4}y\,dy\right]dx\\\\\\=-\dfrac{1}{2}\int_{0}^{2}y^{2}\bigg|_{y=0}^{y=-2x+4}dx=-\dfrac{1}{2}\int_{0}^{2}(-2x+4)^{2}dx$

Fazendo

$u=-2x+4~\Rightarrow~du=-2dx~\Rightarrow~dx=-\frac{1}{2}du\\\\x=0~\Rightarrow~u=4\\x=2~\Rightarrow~u=0$

Então:

$\displaystyle\int_{C}F\cdot dC=-\dfrac{1}{2}\int_{0}^{2}(-2x+4)^{2}dx=-\dfrac{1}{2}\int_{4}^{0}u^{2}\bigg(-\frac{1}{2}\bigg)du\\\\\\=-\dfrac{1}{4}\int_{0}^{4}u^{2}du=-\dfrac{1}{4}\bigg[\dfrac{u^{3}}{3}\bigg]_{0}^{4}=-\dfrac{1}{12}(4^{3}-0^{3})=-\dfrac{64}{12}\\\\\\\boxed{\boxed{\displaystyle\int_{C}F\cdot dC=-\dfrac{16}{3}}}$