Matemática, perguntado por Reflexy1, 1 ano atrás

Calculo 3 - Derivada Direcional

Alguém sabe me ajudar na Letra b)??

Anexos:

Soluções para a tarefa

Respondido por acidbutter
2
Seja
V(\vec{r})=\ln(\vec{r^2})
Sabemos que:
\vec{r}^2=\vec{r}\cdot\vec{r}
como
\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}
\vec{r^2}=(x\cdot x)+(y\cdot y)+(z\cdot z)=x^2+y^2+z^2
logo:
\displaystyle i)~~~~\vec{\nabla}V=\frac{\partial V}{\partial x}\hat{i}+\frac{\partial V}{\partial y}\hat{j}+\frac{\partial V}{\partial z}\hat{k}\\\\ii)~~~\vec{\nabla}V=\frac{\partial }{\partial x}\ln(\vec{r}^2)\hat{i}+\frac{\partial }{\partial y}\ln(\vec{r}^2)\hat{j}+\frac{\partial }{\partial z}\ln(\vec{r}^2)\hat{k}\\\\iii)~~\vec{\nabla}V=\frac{\partial }{\partial x}\ln(x^2+y^2+z^2)\hat{i}+\frac{\partial }{\partial y}\ln(x^2+y^2+z^2)\hat{j}\\+\frac{\partial }{\partial z}\ln(x^2+y^2+z^2)\hat{k}\\\\<br />iv)~~u=\vec{r}^2=x^2+y^2+z^2\\\\v)~~~\frac{\partial }{\partial x}\ln u=\frac{d}{du}\ln u\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{1}{u} 2x\\\\vi)~~\frac{\partial}{\partial y}\ln u=\frac{d }{du}\ln u\cdot \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{u}2y\\\\vii)~~\frac{\partial }{\partial z}\ln u=\frac{d}{du}\ln u\cdot \frac{\partial u}{\partial z}=\frac{1}{u}2z\\\\viii)~\vec{\nabla}V=\frac{2x}{r^2}\hat{i}+\frac{2y}{r^2}\hat{j}+\frac{2z}{r^2}\hat{k}=\frac{1}{r^2}2(x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k})=\boxed{\boxed{\frac{2\vec{r}}{r^2}}}

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Caso tenha alguma duvida comente com o número do passo
Bons estudos!
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