Question

-calculo 3) Considere um campo vetorial F(x,y,z)= xi+2yj+3zk e escreva com todos os detalhes para o calculo do fluxo exterior F através da superficie ilimitada pelo paraboloide $3z= 4-x^{2} -y^{2}$ e pelo cone $z=\sqrt{x^{2} +y^{2} }$, usando ambos os lados do Teorema da divergência de Gauss

Answer 1

Para resolver sua questão, iremos utilizar o Teorema da divergência de Gauss para encontrar o volume do paraboloíde:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \Phi\tt =\iint\limits_{\partial V}\overset{\rightarrow}{F}\cdot\overset{\rightarrow}{n} \ dS =\iiint\limits_{V} \overset{\rightarrow}{\nabla}\cdot \overset{\rightarrow}{F}\ dV\end{gathered}$

Sendo o campo vetorial $\large\displaystyle\begin{gathered}\tt F(x,y,z)=x\overset{\rightarrow}{i}+2y\overset{\rightarrow}{j}+3z\overset{\rightarrow}{k}\end{gathered}$ , temos que o seu divergente é igual a:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt \overset{\rightarrow}{\nabla}\cdot \overset{\rightarrow}{F}= \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \tt \overset{\rightarrow}{\nabla}\cdot \overset{\rightarrow}{F}=\frac{\partial (x)}{\partial x} +\frac{\partial (2y)}{\partial y} +\frac{\partial (3z)}{\partial z}\implies \green{\boxed{\tt \overset{\rightarrow}{\nabla}\cdot \overset{\rightarrow}{F}=6}}\end{gathered} }$

Com isso, temos então que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \Phi\tt =6\cdot \iiint\limits_{V} \ dV\end{gathered}$

Vamos então utilizar as coordenadas cilíndricas, ficando então:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \Phi\tt =6\cdot \iiint\limits_{V} \ rdzdrd\theta\end{gathered}$

Observando o gráfico da superficie limitada pela paraboloide e pelo cone ( em anexo ), temos que os limites de integração da integral tripla são:

• $\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt 0\leqslant \theta\leqslant 2\pi \end{gathered}$

• $\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt 0\leqslant r\leqslant 1\end{gathered}$

• $\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt 1\leqslant z\leqslant \frac{4-r^2}{3} \end{gathered}$

E com isso, temos que:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \Phi\tt =6\cdot \int _{0}^{2\pi}\left[\int_{0}^1 \left(\int_{1}^{\frac{4-r^2}{3}} \ rdz\right)dr\right]d\theta\end{gathered} }$

Vamos então calcular essa integral tripla para encontrar o valor de 6 vezes o volume do paraboloíde.

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \Phi\tt =2\cdot \int _{0}^{2\pi}\left(\int_{0}^1 r-r^3 \ dr\right)d\theta\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \Phi\tt =\frac{1}{2} \cdot \int _{0}^{2\pi}d\theta\end{gathered}$

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \Phi\mathtt{ =\frac{2\pi}{2} }\implies \green{\boxed{\Phi\tt =\pi}}\end{gathered} }$

Sabendo então que o valor de 6 vezes o volume do paraboloíde é igual a pi, temos agora que encontrar o valor de 6 vezes o volume do cone, e para isso, temos que:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt V_C=\frac{(\pi \cdot r^2\cdot h)}{3} \end{gathered}$

Sendo r e h unitários, logo:

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \tt V_C=\frac{\pi}{3} \implies \green{\boxed{\tt 6V_C= 2\pi}}\end{gathered} }$

Agora é só somar os volumes do paraboloíde com o do cone e acabou. :)

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \therefore \green{\underline{\boxed{\tt 6V_P +6V_C=2\pi +\pi = 3\pi}}}\ \ (\checkmark).\end{gathered} }$

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