Question

Calculo 3
calculo de area

Answer 1

Observe a figura em anexo.

A curva $C$ é o contorno do pentágono, percorrido no sentido horário, pois este é o sentido fornecido pela ordem dada pelos pontos.

O interior de $C$ está em azul-claro.

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Queremos calcular a integral de linha sobre a curva $C:$ (curva fechada)

$\displaystyle\oint_C (2x-y)\,dx+(x+3y)\,dy~~~~~~\mathbf{(i)}$


Analisando a integral $\mathbf{(i)},$ tiramos que o campo vetorial em questão é

$\overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\,y)=P(x,\,y)\overrightarrow{\mathbf{i}}+Q(x,\,y)\overrightarrow{\mathbf{j}}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\overrightarrow{\mathbf{F}}(x,\,y)=(2x-y)\overrightarrow{\mathbf{i}}+(x+3y)\overrightarrow{\mathbf{j}} \end{array}}$


sendo as funções componentes do campo

$\left\{\! \begin{array}{l}P(x,\,y)=2x-y\\\\Q(x,\,y)=x+3y \end{array} \right.$

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A curva $C$ é fechada, regular por partes, e as derivadas parciais das componentes $P$ e $Q$ do campo são contínuas no interior de $C.$ Portanto, vale o Teorema de Green:

( Atenção: $C$ não está positivamente orientada, então temos que corrigir o sinal do lado direito. Se notarmos a ordem que os pontos foram dados, a curva é percorrida no sentido horário... )

$\displaystyle\oint_C P\,dx+Q\,dy=-\iint_{\mathrm{int}(C)}\left(\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y} \right )dA~~~~~~\mathbf{(ii)}$

onde $\mathrm{int}(C)}$ é a região compreendida no interior da curva $C.$ Essa é a região em azul da figura em anexo.

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$\bullet\;\;\dfrac{\partial Q}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(x+3y)\\\\\\ \dfrac{\partial Q}{\partial x}=1\\\\\\\\ \bullet\;\;\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(2x-y)\\\\\\ \dfrac{\partial P}{\partial y}=-1$


Portanto,

$\dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=1-(-1)\\\\\\ \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=1+1\\\\\\ \dfrac{\partial Q}{\partial x}-\dfrac{\partial P}{\partial y}=2$

( é uma função constante de $x$ e $y$ )

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Substituindo na expressão $\mathbf{(ii)}$ do teorema de Green, devemos ter

$\displaystyle\oint_C P\,dx+Q\,dy=-\iint_{\mathrm{int}(C)}2\,dA\\\\\\ =-2\cdot \iint_{\mathrm{int}(C)}1\,dA\\\\\\ =-2\cdot \text{\'Area}\big(\mathrm{int}(C)\big)\\\\\\ =-2\cdot \left(2^2+\dfrac{2\cdot 1}{2}\right)\\\\\\ =-2\cdot (4+1)\\\\ =-2\cdot 5\\\\ \therefore~~\boxed{\begin{array}{c}\displaystyle\oint_C P\,dx+Q\,dy=-10 \end{array}}$


O valor da integral é -10, pois percorremos a curva no sentido horário, que é o sentido dado pela questão.

Então, a alternativa correta não está entre as que foram apresentadas.


Bons estudos! :-)