Question

calculo 3
Calcule a area da superfcie z = x + y^2 que estda acima do tri^angulo com vertices
(0; 0; 0), (1; 1; 0) e (0; 1; 0).

Answer 1

A = ∫∫ ||dr/du X dr/dv || dA
       R

Onde,

||dr/du X dr/dv || dA = √ (dz/dx)²+(dz/dy)²+1  .dA

Achando as derivadas de parciais de "Z"

z = x+y²

dz/dx = 1
-----------------------

z = x +y²

dz/dy = 2y
-----------------------

Logo,


||dr/du X dr/dv || dA  = √ 1² + (2y)²+1 . dA


||dr/du X dr/dv || dA  = √ 2+4y²  .dA


||dr/du X dr/dv || dA  = √ 2(1+2y²) .dA


||dr/du X dr/dv || dA  = √2 .√ (1+2y²) .dA
-----------------------------------------------

Como z = 0, analisar os pontos x e y dos pontos.

(0,0) ,  (1,1) e  (0,1)


Vamos calcular a reta que une o ponto (0,0) a (1,1)

y = ax + b

y = ax  

Pois b = 0

y = ax

Para (x,y) = (1,1)

1 = a

então,

y = x

|----- 1
| R /
|  /
|/-------------------
      1

Integrando pelo tipo 2:

0 ≤ y ≤ 1

0 ≤ x ≤ y
--------------------

Então,

$\\ A = \int\limits^1_0 {} \, \int\limits^y_0 { \sqrt{2} . \sqrt{1+2y^2} } \, dxdy \\ \\ A = \sqrt{2} . \int\limits^1_0 {} \, \int\limits^y_0 { \sqrt{1+2y^2} } \, dxdy \\ \\ A = \sqrt{2} . \int\limits^1_0 {} \, x \sqrt{1+2y^2}|(0,y)dy \\ \\ A = \sqrt{2} . \int\limits^1_0 {} \, y \sqrt{1+2y^2}dy$

fazendo,

u = 1+2y²

du/dy = 4y

du/4 = ydy

Mudando os limites de integrações para y = 0 e y =1

u = 1+2y²

u₁ = 1+2.0²

u₁ = 1
----------------

u = 1+2y²

u₂ = 1+2.1²

u₂ = 3
---------------

Então:

$\\ A = \sqrt{2} \int\limits^3_1 {} \, \sqrt{u} . \frac{du}{4} \\ \\ A = \frac{ \sqrt{2} }{4} . \int\limits^3_1 {} \, u^ \frac{1}{2} du \\ \\ A = \frac{ \sqrt{2} }{4} . u^ \frac{3}{2}. \frac{2}{3} |(1,3) \\ \\ A = \frac{ \sqrt{2} }{6} . \sqrt{u^3} |(1,3) \\ \\ A = \frac{ \sqrt{2} }{6} .( \sqrt{3^3} - \sqrt{1^3} ) \\ \\ A = \frac{ \sqrt{2} }{6} .( 3 \sqrt{3} - 1 ) u.a$

DE ACORDO COM O GABARITO:


A resposta encontrada foi.

$\frac{ \sqrt{2} }{6} (3 \sqrt{3} -1)$

Aplicando a distributiva:

$\\ = \frac{3. \sqrt{2}. \sqrt{3} }{6} - \frac{ \sqrt{2} }{6} \\ \\ = \frac{ \sqrt{6} }{2} - \frac{ \sqrt{2} }{6} \\ \\ = \frac{ \sqrt{6} }{2}. \frac{ \sqrt{6} }{\sqrt{6} } -\frac{ \sqrt{2} }{6} . \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } \\ \\ = \frac{6}{2 \sqrt{6} } - \frac{2}{6 \sqrt{2} } \\ \\ = \frac{3}{ \sqrt{6} } - \frac{1}{3 \sqrt{2} }$

Estranho a resposta aparecer nesse formato.
Pois, geralmente as resposta são racionalizadas!