Question

(CÁLCULO 2) - Vamos considerar D o quadrado no plano xy sendo limitado pelas retas x = 0, x = 1, Y = 0 e y = 1. No espaço tridimensional, considerar a pirâmide sólida P com vértice no plano (0, 0, 2) com base D. Calcular a integral tripla da função x em P.

Answer 1

(1) Representación del cuadrado D

$D=\{(x,y): 0\leq x\leq 1~;~0\leq y\leq 1\}$

(2) Sobre el cuadrado D habrán dos superficies planas es decir dos triángulos cuyos vértices son

$T_1:(1,1,0);(1,0,0);(0,0,2)\subset \{(x,y,z):2x+z=2\}\\ \\ T_2:(1,1,0);(0,1,0);(0,0,2)\subset \{(x,y,z):2y+z=2\}\\ \\ \text{entonces: }\\ \\ P_1=\{(x,y,z): 0\leq x\leq 1~;~0\leq y\leq x~;~0\leq z\leq 2-2x \}\\ \\ P_2=\{(x,y,z): 0\leq x\leq 1~;~x\leq y\leq 1~;~0\leq z\leq 2-2y \}\\ \\ \mu(P)=\mu(P_1)+\mu(P_2)\\ \\ \displaystyle \mu(P)=\iiint_{P_{1}}dx~dy~dz+\iiint_{P_{2}}dx~dy~dz\\ \\ \\ \mu(P)=\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\int_{0}^{2-2x}dz~dy~dx+\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}\int_{0}^{2-2y}dz~dy~dx$