Question

(CÁLCULO 2) - Usar mudança de coordenadas, sendo x = 2u + v, y = u + 2v para calcular a integral dupla da função x + 2y na região triangular com vértices (0,0), (2,1) e (1,2).

Answer 1

Olá, Nise =)

Se fôssemos realizar a integração em x e y, teríamos que separar a integral dupla sobre o compacto em duas outras integrais duplas. Nada muito complicado, mas um pouco mais longo. A mudança de variável é linear, ela vai manter as retas que limitam a região em retas, mas rotacionando a região. Vamos descobrir os pontos (u,v).

Para (x, y) = (0, 0) , vamos na transformação. Multiplicamos a expressão de y por 2 para facilitar a resolução do sistema:

2u + v = 0

2u + 4v = 0

v = 0

u = 0 → (u, v) = (0, 0)

Para (x, y) = (2, 1)

2u + v = 2

2u + 4v = 2

v = 0

u = 1 → (u, v) = (1, 0)

Para (x, y) = (1, 2):

2u + v = 1

2u + 4v = 4

v = 1

u = 0 → (u, v) = (0, 1)

Então o novo limite será o triângulo de vértices (0, 0); (1, 0) e (0, 1), bem mais simples que o anterior e pode ser feito numa única integral.

Porém, não existe almoço grátis na natureza. Ao fazermos a transformação, devemos pagar um preço, que é multiplicar a função do integrando pelo módulo do determinante Jacobiano da transformação.

$J = \dfrac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)} = \left|\begin{array}{cc} \frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial u}\\ \frac{\partial x}{\partial v}&\frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right| = \left|\begin{array}{cc}2&1\\1&2\end{array}\right| = 3$

Assim, integraremos em u e v. O domínio é: $0\leq u\leq 1$ e $0\leq v\leq 1-u$

Agora integramos:

$\displaystyle\iint_{B_{uv}} f(u,v) dudv = \int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{1-u}3((2u+v) + 2(u+2v))dv\right]du =\\\\\\ = \int_0^1\left[\int_{0}^{1-u}12u +15v dv\right]du = \\ \\\int_0^1 12u(1-u) + \frac{15}{2}(1-u)^2 du = \left[6u^2-4u^3 -\frac{5}{2}(1-u)^3 \right]_0^1 = \\\\ \\= (6-4) - (-\frac52) = 2+\frac52 = \dfrac{9}{2}$

Portanto, a integral dupla vale 9/2.