Question

calculo 2- series de potencias

Answer 1

$\boxed{\boxed{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1-x)^n}{(n+1)3^n} }}$

encontrando o centro
1-x=0
x = 1

aplicando o teste da razão ela vai convergir se:
$\boxed{\boxed{ L=\lim_{n \to \infty} \left |\frac{a_{n+1}}{an} \right |\ \textless \ 1}}$

aplicando isso 
$]L= \lim_{n \to \infty} \left|\frac{(1-x)^{n+1}}{(n+2)3^{n+1}} * \frac{(n+1)*3^n}{(1-x)^n} \right| \\\\ L= \lim_{n \to \infty} \left| \frac{(1-x)^n*(1-x)}{(n+2)*3^n*3} * \frac{(n+1)*3^n}{(1-x)^n} \right|\\\\ L= \lim_{n \to \infty} \left | \frac{(1-x)*(n+1)}{(n+2)*3} \right |\\\\ L= \left |\frac{1-x}{3} \right | \lim_{n \to \infty} \left | \frac{n+1}{n+2} \right | \\\\\boxed{\boxed{L=  \frac{|1-x|}{3} }}$


para ser convergente L<1

$\frac{|1-x|}{3} } \ \textless \ 1\\\\ \boxed{\boxed{|1-x|\ \textless \ 3}}$

resolvendo
$-3\ \textless \ 1-x \ \textless \ 3\\\\ -3-1 \ \textless \ 1-x-1\ \textless \ 3-1\\\-4\ \textless \ -x\ \textless \ 2\\\\(-1)*(-4)\ \textgreater \ (-1)*(-x)\ \textgreater \ (-1)*2\\\\ 4\ \textgreater \ x\ \textgreater \ -2 \to \boxed{\boxed{-2\ \textless \ x\ \textless \ 4}}$

encontrando o raio de convergência:
-2 .......1 ......4 
raio = 3 (distancia do centro até os extremos do intervalo)

verificando se ela converge nos extremos:
quando x=-2

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1-(-2))^n}{(n+1)3^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^n}{(n+1)3^n} =\boxed{\boxed{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)} }}$

fazendo o teste da comparação
comparando com uma serie harmonica 1/n  que sabemos que é  divergente

então
$A_n= \frac{1}{(n+1)} \\\\B_n = \frac{1}{n}$

fazendo
$\boxed{\boxed{\rho = \lim_{n \to \infty} \frac{A_n}{B_n} }}$

se p> 0 as duas tem o mesmo comportamento, então neste caso se p>0 as duas divergem

$\rho = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} * \frac{n}{1} \\\\ \rho = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} \\\\ \boxed{\rho =1}$

logo a serie diverge em x=-2 
.....................................................
testando agora para x= 4

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1-4)^n}{(n+1)3^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{-3^n}{(n+1)3^n} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n*3^n}{(n+1)3^n} = \boxed{\boxed{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n+1)}}}$

aplicando o teste da serie alternada
temos:
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n+1)} = -0,5 + 0,3 -0,25+ 0,2+....$

1º condição - para ser decrescente: observando todos os termos sem o sinal de negativo, a sequencia tem q ser decrescente
0,5 , 0,3 , 0,25 , 0,2 ... (1º condição está satisfeita)

2º condção - $\boxed{\boxed{ \lim_{n \to \infty} a_n =0}}$
quando n é par
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0$

segunda condição tbm está satisfeita.. logo a serie converge em x=4

intervalo de convergencia
$\boxed{\boxed{I = (-2; 4]}}$

B) 
$\boxed{\boxed{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n*2^n*x^n}{(n+1)^3} }}$

aplicando o teste da razão

$L = \lim_{n \to \infty} |\frac{(-1)^{n+1}*2^{n+1}*x^{n+1}}{(n+2)^3} * \frac{(n+1)^3}{(-1)^n*2^n*x^n}|\\\\ L = \lim_{n \to \infty} |\frac{(-1)*2*x}{(n+2)^3}*(n+1)^3|\\\\ L = |-2x| * \lim_{n \to \infty} | \frac{(n+1)^3}{(n+2)^3} |\\\\\boxed{L=2|x|*1}$

para ser convergente
$2|x|\ \textless \ 1\\|x|\ \textless \ \frac{1}{2} \\\\ \boxed{\boxed{- \frac{1}{2}\ \textless \ x\ \textless \ \frac{1}{2} }}$

centro = 0
raio = 1/2

verificando se converge quando x = -1/2

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n*(2*x)^n}{(n+1)^3} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n*(2* \frac{-1}{2} )^n}{(n+1)^3} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n*(-1)^n}{(n+1)^3} \\\\ =\boxed{ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^3}}$

fazendo o teste da comparação
$\bmatrix A_n = \frac{1}{(n+1)^3}\\\\B_n = \frac{1}{n^3} \end$

Bn é uma P serie com  p=3 , ela é convergente

$\rho = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(n+1)^3} * \frac{n^3}{1} \\\\ \rho = \lim_{n \to \infty} (\frac{n}{n+1})^3 \\\\ \boxed{\rho = 1}$

como p> 0 , a serie converge quando x= -1/2

verificando a convergencia quando x =1/2

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n*(2* \frac{1}{2} )^n}{(n+1)^3} = \boxed{\boxed{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(n+1)^3} }}$

aplicando o teste da serie alternada
1)
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^3} = \frac{1}{8} + \frac{1}{27} + \frac{1}{64}.....$

2)
$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{(n+1)^3} = 0$

a serie converge quando x=1/2

$\boxed{\boxed{I=\left [- \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right] }}$

$\boxed{\boxed{\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}*x^{2n-1}}{(2n-1)!} }}$

centro x=0

teste da razão

$L= \lim_{n \to \infty} |\frac{(-1)^{n+2}*x^{2(n+1)-1}}{(2(n+1)-1)!} * }\frac{(2n-1)!}{(-1)^{n+1}*x^{2n-1}} |\\\\L= \lim_{n \to \infty} | \frac{(-1)^{n+2}*x^{2n+1}}{(2n+1)!}*\frac{(2n-1)!}{(-1)^{n+1}*x^{2n-1}} |\\\\ L= \lim_{n \to \infty} | \frac{(-1)^*x^2}{(2n+1)!} *(2n-1)! |\\\\L= |(-1)*x^2| * \lim_{n \to \infty} | \frac{(2n-1)!}{(2n+1)!} |\\\\L=x^2 * \lim_{n \to \infty} \frac{(2n-1)!}{ (2n+1)*(2n)*(2n-1)!} \\\\ L=x^2 * \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(2n+1)*(2n)} \\\\\boxed{\boxed{L=0}}$

$I=(-\infty , \infty)$