Question

Calculo 2
O volume do sólido de revolução resultante da rotação da área limitada pela curva F(X)=X³ e as retas X=1 e Y=0 em torno do eixo y é:
opções:
a) 9/5 u.v.
b)3/5 u.v.
c)3π/5 u.v.
d)π/5 u.v.
e)9π/5 u.v.

Answer 1

Aqui, vou utilizar o método das cascas cilíndricas:

$V=\displaystyle\int\limits_{a}^{b}{2\pi x\cdot f(x)\,dx}$


sendo que $f(x)\geq 0,\;$ para todo $x\in [a,\;b].$

O valor de $f(x)$ representa a altura da casca cilíndrica em um ponto que dista $x$ unidades de comprimento do eixo de rotação $Oy.$


$\bullet\;\;$ A região em questão está sobre o intervalo $[0,\;1],$ acima do eixo $x$ e abaixo do gráfico de $f(x)=x^{3}.$

Portanto, o volume do sólido gerado é

$V=\displaystyle\int\limits_{0}^{1}{2\pi x\cdot x^{3}\,dx}\\ \\ \\ =\int\limits_{0}^{1}{2\pi x^{4}\,dx}\\ \\ \\ =\left.\dfrac{2\pi x^{5}}{5}\right|_{0}^{1}\\ \\ \\ =\dfrac{2\pi\cdot 1^{5}}{5}-\dfrac{2\pi\cdot 0^{5}}{5}\\ \\ \\ =\dfrac{2\pi}{5}\mathrm{~u.v.}$

Answer 2

Veja a figura em anexo

Estamos interessados em encontrar o volume do sólido obtido ao rotacionar o gráfico de f em torno do eixo y, então vamos colocar x em função de y

$y=x^{3}~~\therefore~~\sqrt[3]{y}=\sqrt[3]{x^{3}}~~\therefore~~\boxed{\boxed{x=\sqrt[3]{y}}}$

Quando x = 0, y = 0
Quando x = 1, y = 1

Queremos calcular o volume gerado área amarela quando rotacionada em torno do eixo y, que corresponde a diferença entre o volume do cilindro de raio 1 e altura 1 (formado pela rotação da reta vertical x = 1 em torno do eixo y) e o volume do sólido gerado pela rotação do gráfico de y = x³ em torno do eixo y

Esse volume é dado por

$V=\displaystyle\pi\int\limits_{0}^{1}1^{2}dy-\pi\int\limits_{0}^{1}[f(y)]^{2}dy\\\\\\V=\pi\int\limits_{0}^{1}[1-(\sqrt[3]{y})^{2}]dy\\\\\\V=\pi\int\limits_{0}^{1}[1-(y^{1/3})^{2}]dy\\\\\\V=\pi\int\limits_{0}^{1}(1-y^{2/3})dy\\\\\\V=\pi\left[y-\dfrac{y^{(2/3)+1}}{(2/3)+1}\right]_{0}^{1}\\\\\\V=\pi\left[y-\dfrac{3}{5}y^{5/3}\right]_{0}^{1}\\\\\\V=\pi\left[1^{2}-\dfrac{3}{5}\cdot1^{5/3}-0^{2}+\dfrac{3}{5}\cdot0^{5/3}\right]\\\\\\V=\pi\left[1-\dfrac{3}{5}\right]\\\\\\V=\pi\cdot\dfrac{2}{5}$

$\boxed{\boxed{V=\dfrac{2\pi}{5}}}$