Question

Calculo 2 - Integral Definida

Calcule a área delimitada por y=x^(1/2) ; y=2 ; x>=0

Answer 1

Resposta:

$\frac{8}{3}$

Explicação passo-a-passo:

Para delimitar a área definida por $f(x)=x^{1/2}$ e $g(x)=2$, vejamos em quais pontos essas funções coincidem para $x\geq 0$:

$f(x)=g(x)\implies x^{1/2}=2 \implies x = 4$

Note ainda que $g(x)\geq f(x)$ para $x\in [0,4]$. Logo, a área delimitada é o seguinte conjunto

$A = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 | 0\leq x \leq 4 \ \text{e} \ x^{1/2} \leq y \leq 2 \}$,

isto é, a área entre os gráficos de f e g, no intervalo [0,4]. Como o gráfico de g está sempre acima do gráfico de f, neste intervalo, temos que a área delimitada é

$\int_{0}^{4} (g(x)-f(x))\ dx = \int_{0}^{4} (2-x^{1/2})\ dx$

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,

$\int_{0}^{4} (2-x^{1/2})\ dx = \left(2x -\frac{2}{3}x^{3/2}\right)\arrowvert_{x=0}^{4} = (2\times 4 -\frac{2}{3}4^{3/2}) - (2\times 0 -\frac{2}{3}0^{3/2}) = 8 - \frac{2}{3}8 = \frac{24-16}{3}=\frac{8}{3}$