Question

Cálculo 2

Esboce a região correspondente a cada uma das integrais definidas, depois calcule as integrais.

a) $\int\limits^3_1 {4} \, dx$

b)$\int\limits^3_0 {(x+2)} \, dx$

Explique como se faz. =)

Answer 1

Olá


a)

$\displaystyle \int\limits^3_1 {4} \, dx$


A função a ser integrada, nesse caso, o 4, é o gráfico da função. E os intervalos, de 1 a 3, são os limitantes da área no qual queremos descobrir.
Sabemos então que,

y = 4       

A função é constante, isso implica que teremos uma reta paralela ao eixo x.
Queremos saber quanto vale a area dessa função de 1 a 3.
Então limite essas áreas, faça duas retas perpendiculares ao eixo y, em 1 e 3;

Integrando

$\displaystyle\mathsf{ \int\limits^3_1 {4} \, dx}\\\\\\=\left.\left(\dfrac{}{}4x\right)\right|_{1}^{3}$

Limite superior menos o limite inferior

$\displaystyle \mathsf{=(4\cdot (3))~-~(4\cdot(1))}\\\\\mathsf{=12-4}\\\\\boxed{\mathsf{=8 ~u.a}}$

O gráfico estará em anexo.



B)

$\displaystyle \int\limits^3_0 {(x+2)} \, dx$


No item b), é o mesmo procedimento.

A função à ser integrada é o nosso gráfico

y = x+2

essa é uma função que corta o eixo y em 2, e o eixo x em -2.

Faça uma linha paralela ao eixo y em x=0, e x=3;   Já que esse é a área que queremos descobrir

Integrando

 $\displaystyle \mathsf{\int\limits^3_0 {(x+2)} \, dx }\\\\\\=\mathsf{\left.\left(\dfrac{x^2}{2}+2x\,\right)\right|_{0}^{3}}\\\\\\\\\mathsf{=\left( \frac{3^2}{2} +2\cdot(3)\right)~-~\left( \frac{0^2}{2} +2\cdot(0)\right)}\\\\\\\\=\mathsf{\left( \frac{9}{2}+6\right)~-~0 }\\\\\\\\\boxed{=\mathsf{ \frac{21}{2}~u.a }}$

Gráfico em anexo.



Qualquer dúvida deixe nos comentários.