Question

(CÁLCULO 2) Digamos que a temperatura de cada ponto (x, y) de um plano xy seja determinada pela função:
                                                T(x, y) = 40 - x² - 2y²   
na qual T seja medido em °C e x e y em km. Um rapaz está na posição (3, 2) e deseja dar um passeio pelo plano.

A) determine a temperatura do ponto (3, 2). Que curva o rapaz deverá percorrer de maneira que a temperatura se mantenha constante?

B) Indique a direção e o sentido que o rapaz deverá tomar de modo que o crescimento da temperatura seja máximo? (justifique).

Answer 1

Olá, Nise.

a) Para a primeira parte, basta substituir os valores (x,y) = (3,2).

$T(3,2) = 40- 3^2 - 2\cdot 2^2 = 40 - 9-8 \\ \\ T(3,2) = 23^\circ C$

Para a segunda parte, queremos que tenhamos sempre T(x,y) = 23, logo:

$23=40-x^2-2y^2\\ \\ x^2+2y^2 = 17\\ \\ \dfrac{x^2}{17}+\dfrac{y^2}{\frac{17}{2}} = 1$

Portanto, o estudante deverá deslocar-se sobre a elipse de equação acima. Se quisermos uma curva $\gamma(t)$ , podemos realizar uma parametrização simples:

$\left(\dfrac{x}{\sqrt{17}}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt2 y}{\sqrt{17}}\right)^2 = 1\\ \\ \\ \\ \gamma(t): \begin{cases} \dfrac{x}{\sqrt{17}} =\cos(t)\\ \\ \dfrac{\sqrt2 y}{\sqrt{17}} = \sin(t)\end{cases} \Rightarrow \boxed{\gamma(t) = \left(\sqrt{17} \cos(t), \sqrt{\frac{17}{2}}\sin(t)\right)}$

=======

b) A direção com a taxa de crescimento máximo em T pode ser definida como a direção do vetor gradiente no ponto dado.

Assim, temos:

$T(x,y) = 40-x^2-2y^2 \Rightarrow \overrightarrow{\nabla}T(x,y) = \left(\dfrac{\partial T}{\partial x}(x,y), \dfrac{\partial T}{\partial y}(x,y)\right)\\ \\ \\ \overrightarrow{\nabla} T(x,y) = (-2x, -4y)\\ \\ \\ \overrightarrow{\nabla}T(3,2) = (-2(3), -4(2)) = (-6, -8) = -6\vec{i} -8\vec{j}$

O rapaz deverá tomar a direção e sentido do vetor gradiente calculado acima para ter máxima variação de temperatura. Como o vetor está bem caracterizado, a direção e sentido também estão.


Bons estudos =)

Answer 2

Olá, Nise.

a) Para a primeira parte, basta substituir os valores (x,y) = (3,2).

T(3,2) = 40- 3^2 - 2\cdot 2^2 = 40 - 9-8 \\ \\ T(3,2) = 23^\circ C

Para a segunda parte, queremos que tenhamos sempre T(x,y) = 23, logo:

23=40-x^2-2y^2\\ \\ x^2+2y^2 = 17\\ \\ \dfrac{x^2}{17}+\dfrac{y^2}{\frac{17}{2}} = 1

Portanto, o estudante deverá deslocar-se sobre a elipse de equação acima. Se quisermos uma curva \gamma(t) , podemos realizar uma parametrização simples:

\left(\dfrac{x}{\sqrt{17}}\right)^2  + \left(\dfrac{\sqrt2 y}{\sqrt{17}}\right)^2 =  1\\ \\  \\ \\ \gamma(t): \begin{cases} \dfrac{x}{\sqrt{17}} =\cos(t)\\ \\  \dfrac{\sqrt2 y}{\sqrt{17}} = \sin(t)\end{cases} \Rightarrow \boxed{\gamma(t) = \left(\sqrt{17} \cos(t), \sqrt{\frac{17}{2}}\sin(t)\right)}  

=======

b) A direção com a taxa de crescimento máximo em T pode ser definida como a direção do vetor gradiente no ponto dado.

Assim, temos:

T(x,y) = 40-x^2-2y^2 \Rightarrow \overrightarrow{\nabla}T(x,y) = \left(\dfrac{\partial T}{\partial x}(x,y), \dfrac{\partial T}{\partial y}(x,y)\right)\\ \\ \\ \overrightarrow{\nabla} T(x,y) = (-2x, -4y)\\ \\ \\ \overrightarrow{\nabla}T(3,2) = (-2(3), -4(2)) = (-6, -8) = -6\vec{i} -8\vec{j}  

O rapaz deverá tomar a direção e sentido do vetor gradiente calculado acima para ter máxima variação de temperatura. Como o vetor está bem caracterizado, a direção e sentido também estão.

Bons estudos