Question

(CÁLCULO 2) Considerando a função z = f (x; y) = x²y + 2y³ + 10.

Determinar a equação do plano tangente ao gráfico de z = f (x; y) no ponto (2, -1, 4).

Answer 1

Olá, Nise!

O plano tangente a uma superfície tem a forma:

$(x,y,z) = (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) + t\left(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0), -1 \right)~~~ t\in\mathbb{R}$

Veja que temos tudo para calcular a equação deste plano, basta calcularmos as derivadas parciais de f com respeito a x e y, pois o ponto (x₀,y₀,f(x₀,y₀)) = (2, -1, 4).

$\dfrac{\partial f}{\partial x}(2,-1) = 2xy|^{x=2}_{y = -1} = -4\\ \\ \\ \dfrac{\partial f}{\partial y}(2,-1) = (x^2+6y^2)^{x=2}_{y=-1} = 10$

Portanto, a equação do plano tangente será:

$(x,y,z) = (2,-1,4) + t(-4,10, -1),~~~t\in\mathbb{R}$

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a equação do plano tangente à referida superfície pelo ponto "P" é:

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: -4x + 10y - z + 22 = 0\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

          $\Large\begin{cases} s: z = f(x, y) = x^{2}y + 2y^{3} + 10\\P = (2, -1, 4)\end{cases}$

Organizando a equação temos:

              $\Large\begin{cases} s: x^{2}y + 2y^{3} - z + 10 = 0\:\:\:\:\:\bf I\\P = (2, -1, 4)\end{cases}$

Para resolver esta questão devemos:

• Verificar se de fato o ponto "P" pertence à superfície. Para isso, basta substituir as coordenadas do ponto "P" na equação "I" e verificar se ambos os membro são iguais. Caso positivo, o ponto pertence à superfície. Caso contrário, não pertence à superfície. Então, temos:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2^{2}\cdot(-1) + 2\cdot(-1)^{3} - 4 + 10 = 0\end{gathered}$

                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} -4 - 2 - 4 + 10 = 0\end{gathered}$

                                                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} 0 = 0\end{gathered}$

                             $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:P \in s\end{gathered}$

        Então, podemos continuar com os cálculos.

• Calcular o vetor gradiente à superfície:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y, z) = \langle f_{x}(x, y, z),\,f_{y}(x, y, z),\,f_{z}(x, y, z)\rangle\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{\partial f}{\partial x}\,\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\,\vec{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\,\vec{k}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2xy\,\vec{i} + (x^{2} + 2\cdot3y^{2})\,\vec{j} + (-1)\,\vec{k}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (2xy, \,x^{2} + 6y^{2}, \,-1)\end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\vec{\nabla} f(x, y, z) = (2xy, \,x^{2} + 6y^{2},\,-1)\end{gathered}$                                  

• Obter o vetor gradiente aplicado ao ponto "P":

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(2, \,-1,\,4) = (2\cdot2\cdot(-1),\,2^{2} + 6\cdot(-1)^{2},\,-1)\end{gathered}$

                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (-4,\,10,\,-1)\end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:\vec{\nabla} f(2,\,-1,\,4) = (-4,\,10,\,-1)\end{gathered}$

• Obter o vetor normal "n" ao plano pelo ponto "P":

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{n} = \vec{\nabla} f(2, \,-1,\,4) = (-4,\,10,\,-1)\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:\vec{n} = (-4,\,10,\,-1)\end{gathered}$

• Montar a equação do plano tangente. Para isso, devemos utilizar a seguinte fórmula:

      $\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf (II)\end{gathered}$    $\large\displaystyle\begin{gathered} X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{P} + Y_{n}\cdot Y_{P} + Z_{n}\cdot Z_{P}\end{gathered}$

        Substituindo tanto as coordenadas do ponto "P" quanto as componentes do vetor "n" na equação "I" temos:

           $\large\displaystyle\begin{gathered} -4\cdot x + 10\cdot y + (-1)\cdot z = -4\cdot2 + 10\cdot(-1) + (-1)\cdot4\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} -4x + 10y- z = -8 - 10 - 4\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} -4x + 10y - z = -22\end{gathered}$

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} -4x + 10y - z + 22 = 0\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação do plano é:

      $\Large\displaystyle\begin{gathered} \pi: -4x + 10y - z + 22 = 0\end{gathered}$

 

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$