Question

CÁLCULO 1
Resolva o problema seguinte usando máximos e mínimos.

06) Um fazendeiro admitiu um engenheiro civil para projetar um silo, sem cobertura, deve ser feito com uma chapa de aço, medindo 16,0 m de largura por 30,0 m de comprimento. Quais devem ser as dimensões para obter um silo com o maior volume?

Answer 1

Boa tarde!

Este problema está bem estranho... mas vou tentar resolvê-lo como se fosse uma caixa, ok?
Enfim:
Tirando um 'quadrado' de dimensões x de cada quina desta chapa, teremos uma caixa com volume:
$V(x)=(16-2x)(30-2x)x$

Para obtermos o volume máximo temos que encontrar os pontos críticos desta equação:

$V(x)=(480-32x-60x+4x^2)x=480x-92x^2+4x^3\\ V'(x)=480-184x+12x^2\\ V'(x)=0\\ 12x^2-184x+480=0\\ 3x^2-46x+120=0\\ \Delta=(-46)^2-4(3)(120)=2116-1440=676\\ x=\frac{-(-46)\pm\sqrt{676}}{2(3)}\\ x=\frac{46\pm{26}}{6}\\ x'=\frac{46+26}{6}=12\\ x''=\frac{46-26}{6}=\frac{10}{3}$

Para saber se é ponto de máximo ou mínimo:
$V''(x)=-184+24x\\ V''(12)=-184+24(12)=104\\ V''\left(\frac{10}{3}\right)=-184+24\cdot{\frac{10}{3}}=-104$

x=12 ==> ponto de mínimo
x=10/3 ==> ponto de máximo

Dimensões:
16-2(10/3)=16-20/3=28/3
30-2(10/3)=30-20/3=70/3
10/3

Espero ter ajudado!