Question

CÁLCULO 1
Resolva o problema seguinte usando máximos e mínimos.

05) Um engenheiro civil foi contratado para projetar e construir uma caixa de concreto armado, de base quadrada, com tampa, cujo o volume é de 17,0 m cúbicos. Quais dever ser as dimensões da caixa para que o gasto de material seja o mínimo. (Despreze a espessura e as perdas de materiais na construção da caixa.)

Answer 1

Boa tarde!

Material: Dimensões da base = x
Dimensão da altura = y
Área = soma das áreas das bases (fundo e tampa) + 4 faces laterais
$A(x,y)=2x^2+4xy$

Volume:
$V(x,y)=17=x^2y$

Isolando o y:
$y=\frac{17}{x^2}$

Substiuindo na equação da área:
$A(x)=2x^2+4x\frac{17}{x^2}\\ A(x)=2x^2+\frac{68}{x}\\ A'(x)=4x-\frac{68}{x^2}\\ A'(x)=0\\ 4x-\frac{68}{x^2}=0\\ 4x=\frac{68}{x^2}\\ 4x^3=68\\ x^3=\frac{68}{4}=17\\ x=\sqrt[3]{17}\approx{2,57}$

Para a dimensão y:
$y=\frac{17}{\left(\sqrt[3]{17}\right)^2}=\sqrt[3]{17}\approx{2,57}$

Conclusão: Uma caixa fechada terá área mínima para um volume fixo se tiver o formato de um CUBO! (todas as dimensões iguais, comprimento, largura e altura).

Espero ter ajudado!