Question

CÁLCULO 1

Determine os intervalos de crescimentos e calculas os extremos das seguintes funções:

a) y = x^3 - 12x + 3

b) y = 3 + 9x - 6x^2 + x^3

c) y = 2x^2 + 3x^2 - 12x

d) y = x^2 (x^2 - 36) + 2

e) y = x^2 ( 2 - x^2 )

f) y = 3 x^5 - 125 x^3 + 2160x

Answer 1

Boa tarde!

a)
$y=x^3-12x+3\\ y'=3x^2-12\\ y'=0\\ 3x^2-12=0\\ 3x^2=12\\ x^2=\frac{12}{3}\\ x^2=4\\ x=\pm{2}$

Para saber se é ponto de máximo ou mínimo:
$y''=6x\\ y''(2)=6(2)=12\text{ minimo}\\ y''(-2)=6(-2)=-12\text{ maximo}$

x=-2(máximo)
x=2(mínimo)

Intervalos:
Crescente: $[-\infty;-2]$
Decrescente: $[-2;2]$
Crescente: $[2;\infty]$

b)
$y=3+9x-6x^2+x^3\\ y'=9-12x+3x^2\\ y'=0\\ 3x^2-12x+9=0\\ x^2-4x+3=0\\ \Delta=(-4)^2-4(1)(3)=16-12=4\\ x=\frac{-(-4)\pm\sqrt{4}}{2(1)}\\ x=\frac{4\pm{2}}{2}\\ x'=\frac{4+2}{2}=\frac{6}{2}=3\\ x''=\frac{4-2}{2}=\frac{2}{2}=1$

Para saber se é ponto de máximo ou mínimo:
$y''=-12+6x\\ y''(3)=-12+6(3)=-12+18=6\\ y''(1)=-12+6(1)=-12+6=-6$

x = 1 ==> ponto de máximo
x = 3 ==> ponto de mínimo

Intervalos:
Crescente: $[-\infty;1]$
Decrescente: $[1;3]$
Crescente: $[3;\infty]$

c)
$y=2x^3+3x^2-12x\\ y'=6x^2+6x-12\\ y'=0\\ 6x^2+6x-12=0\\ x^2+x-2=0\\ \Delta=(1)^2-4(1)(-2)=1+8=9\\ x=\frac{-(1)\pm\sqrt{9}}{2(1)}\\ x=\frac{-1\pm{3}}{2}\\ x'=\frac{-1+3}{2}=\frac{2}{2}=1\\ x''=\frac{-1-3}{2}=\frac{-4}{2}=-2$

Para saber se é ponto de máximo ou mínimo:
$y''=12x+6\\ y''(1)=12(1)+6=18\\ y''(-2)=12(-2)+6=-18$

x = -2 ==> ponto de máximo
x = 1 ==> ponto de mínimo

Intervalos:
Crescente: $[-\infty;-2]$
Decrescente: $[-2;1]$
Crescente: $[1;\infty]$

d)
$y=x^2(x^2-36)+2\\ y=x^4-36x^2+2\\ y'=4x^3-72x\\ y'=0\\ 4x^3-72x=0\\ 4x(x^2-18)=0\\ x=0\text{ ou }x=\pm\sqrt{18}=\pm{3\sqrt{2}}$

Analisando se são pontos de máximo ou mínimo:
$y''=12x^2-72\\ y''(0)=12(0)^2-72=-72\\ y''(-3\sqrt{2})=12(-3\sqrt{2})^2-72=12(18)-72=144\\ y''(3\sqrt{2})=144$

Então:
x = $-3\sqrt{2}$ ==> ponto de mínimo
x = 0 ==> ponto de máximo
x = $3\sqrt{2}$ ==> ponto de mínimo

Intervalos:
Decrescente: $[-\infty;-3\sqrt{2}]$
Crescente: $[-3\sqrt{2};0]$
Decrescente: $[0;3\sqrt{2}]$
Crescente: $[3\sqrt{2};\infty]$

e)
$y=x^2(2-x^2)\\ y=2x^2-x^4\\ y'=4x-4x^3\\ y'=0\\ 4x-4x^3=0\\ 4x(1-x^2)=0\\ x=0\text{ ou }x=\pm{1}$

Analisando se são pontos de máximo ou mínimo:
$y''=4-12x^2\\ y''(0)=4-12(0)^2=4\\ y''(-1)=4-12(-1)^2=4-12=-8\\ y''(1)=-8$

Então:
x = -1 ==> ponto de máximo
x = 0 ==> ponto de mínimo
x = 1 ==> ponto de máximo

Intervalos:
Crescente: $[-\infty;-1]$
Decrescente: $[-1;0]$
Crescente: $[0;1]$
Decrescente: $[1;\infty]$

f)
$y=3x^5-125x^3+2160x\\ y'=15x^4-375x^2+2160\\ y'=0\\ 15x^4-375x^2+2160=0\\ x^4-25x^2+144=0\\ \Delta=(-25)^2-4(1)(144)=625-576=49\\ x^2=\frac{-(-25)\pm\sqrt{49}}{2(1)}\\ x^2=\frac{25\pm{7}}{2}\\ x'^2=\frac{25+7}{2}=16\therefore{x'=\pm{4}}\\ x''^2=\frac{25-7}{2}=9\therefore{x''=\pm{3}}$

Analisando se são pontos de máximo ou mínimo:
$y''=60x^3-750x\\ y''(-4)=60(-4)^3-750(-4)=60(-64)+3000=-840\\ y''(-3)=60(-3)^3-750(-3)=60(-27)+2250=630\\ y''(3)=60(3)^3-750(3)=60(-64)+3000=-630\\ y''(4)=60(4)^3-750(4)=60(-64)+3000=840$

Então:
x = -4 ==> ponto de máximo
x = -3 ==> ponto de mínimo
x = 3 ==> ponto de máximo
x = 4 ==> ponto de mínimo

Intervalos:
Crescente: $[-\infty;-4]$
Decrescente: $[-4;-3]$
Crescente: $[-3;3]$
Decrescente: $[3;4]$
Crescente: $[4;\infty]$

Espero ter ajudado!