CÁLCULO 1 DERIVADAS
Dois lado paralelos de um retângulo aumentam a uma velocidade de 4 cm/s, enquanto os outros dois lados diminuem, de tal modo que o retângulo resultante permanece com área constante de 100 cm2. Qual é a velocidade com que o perímetro diminui quando o comprimento do lado que aumenta é de 20 cm? Quais são as dimensões do retângulo, quando o perímetro deixar de diminuir?
Soluções para a tarefa
P:perímetro
x: lado do retângulo
y: lado do retângulo
A: área = 100
Dois lados paralelos de um retângulo aumentam a uma
velocidade de 4cm/seg ==>fazendo dx/dt =4cm/seg
P=2*(x+y)
dP/dt = 2*(dx/dt+dy/dt) (i)
A=x*y
dA/dt =x*dy/dt +y*dx/dt
Como A = 100 , uma constante
x*dy/dt +y*dx/dt=0 ==> dy/dt=-(y/x) *dx/dt (ii)
a)
Se x=20 ==> 100=x*y ==>y=5
Usando (ii), temos então:
dy/dt=-(y/x) *dx/dt
dy/dt=-(5/20) *(4) =-1 cm/seg
Usando (i) , temos então:
dP/dt = 2*(dx/dt+dy/dt)
dP/dt = 2*(4-1) =6 cm /seg
b)
O perímetro deixa de diminuir dP/dt=0
Usando (i) ==>dP/dt = 2*(dx/dt+dy/dt)
0 = 2*(dx/dt+dy/dt)
dx/dt=-dy/dt
Usando (ii) dy/dt=-(y/x) *dx/dt
Como dx/dt=-dy/dt
-dx/dt=-(y/x) *dx/dt
### cortando dos dois lados
1= y/x ==> y=x
Área é uma constante = 100
100=x*x
10²=x² ==>x=10cm e y= 10 cm é a resposta
### É um quadrado (todo quadrado é um tipo especial de retângulo)
Resposta:
P:perímetro
x: lado do retângulo
y: lado do retângulo
A: área = 100
Dois lados paralelos de um retângulo aumentam a uma
velocidade de 4cm/seg ==>fazendo dx/dt =4cm/seg
P=2*(x+y)
dP/dt = 2*(dx/dt+dy/dt) (i)
A=x*y
dA/dt =x*dy/dt +y*dx/dt
Como A = 100 , uma constante
x*dy/dt +y*dx/dt=0 ==> dy/dt=-(y/x) *dx/dt (ii)
a)
Se x=20 ==> 100=x*y ==>y=5
Usando (ii), temos então:
dy/dt=-(y/x) *dx/dt
dy/dt=-(5/20) *(4) =-1 cm/seg
Usando (i) , temos então:
dP/dt = 2*(dx/dt+dy/dt)
dP/dt = 2*(4-1) =6 cm /seg
b)
O perímetro deixa de diminuir dP/dt=0
Usando (i) ==>dP/dt = 2*(dx/dt+dy/dt)
0 = 2*(dx/dt+dy/dt)
dx/dt=-dy/dt
Usando (ii) dy/dt=-(y/x) *dx/dt
Como dx/dt=-dy/dt
-dx/dt=-(y/x) *dx/dt
### cortando dos dois lados
1= y/x ==> y=x
Área é uma constante = 100
100=x*x
10²=x² ==>x=10cm e y= 10 cm é a resposta
Explicação passo-a-passo: