Matemática, perguntado por faustinoroo, 11 meses atrás

CÁLCULO 1 DERIVADAS

Dois lado paralelos de um retângulo aumentam a uma velocidade de 4 cm/s, enquanto os outros dois lados diminuem, de tal modo que o retângulo resultante permanece com área constante de 100 cm2. Qual é a velocidade com que o perímetro diminui quando o comprimento do lado que aumenta é de 20 cm? Quais são as dimensões do retângulo, quando o perímetro deixar de diminuir?

Soluções para a tarefa

Respondido por EinsteindoYahoo
1

P:perímetro

x: lado do retângulo

y: lado do retângulo

A: área = 100

Dois lados paralelos de um retângulo aumentam a uma  

velocidade de 4cm/seg ==>fazendo  dx/dt =4cm/seg

P=2*(x+y)  

dP/dt = 2*(dx/dt+dy/dt) (i)

A=x*y

dA/dt =x*dy/dt +y*dx/dt

Como A = 100 , uma constante

x*dy/dt +y*dx/dt=0    ==> dy/dt=-(y/x) *dx/dt (ii)

a)

Se x=20 ==> 100=x*y ==>y=5

Usando (ii), temos então:

dy/dt=-(y/x) *dx/dt

dy/dt=-(5/20) *(4) =-1 cm/seg

Usando (i) , temos então:

dP/dt = 2*(dx/dt+dy/dt)

dP/dt = 2*(4-1) =6 cm /seg

b)

O perímetro deixa de diminuir dP/dt=0

Usando (i) ==>dP/dt = 2*(dx/dt+dy/dt)

0 = 2*(dx/dt+dy/dt)

dx/dt=-dy/dt

Usando (ii) dy/dt=-(y/x) *dx/dt

Como dx/dt=-dy/dt

-dx/dt=-(y/x) *dx/dt

### cortando dos dois lados

1= y/x  ==> y=x

Área é uma constante = 100

100=x*x  

10²=x² ==>x=10cm  e y= 10 cm é a resposta

### É um quadrado (todo quadrado é um tipo especial de retângulo)

Respondido por lucimoreno2501
0

Resposta:

P:perímetro

x: lado do retângulo

y: lado do retângulo

A: área = 100

Dois lados paralelos de um retângulo aumentam a uma  

velocidade de 4cm/seg ==>fazendo  dx/dt =4cm/seg

P=2*(x+y)  

dP/dt = 2*(dx/dt+dy/dt) (i)

A=x*y

dA/dt =x*dy/dt +y*dx/dt

Como A = 100 , uma constante

x*dy/dt +y*dx/dt=0    ==> dy/dt=-(y/x) *dx/dt (ii)

a)

Se x=20 ==> 100=x*y ==>y=5

Usando (ii), temos então:

dy/dt=-(y/x) *dx/dt

dy/dt=-(5/20) *(4) =-1 cm/seg

Usando (i) , temos então:

dP/dt = 2*(dx/dt+dy/dt)

dP/dt = 2*(4-1) =6 cm /seg

b)

O perímetro deixa de diminuir dP/dt=0

Usando (i) ==>dP/dt = 2*(dx/dt+dy/dt)

0 = 2*(dx/dt+dy/dt)

dx/dt=-dy/dt

Usando (ii) dy/dt=-(y/x) *dx/dt

Como dx/dt=-dy/dt

-dx/dt=-(y/x) *dx/dt

### cortando dos dois lados

1= y/x  ==> y=x

Área é uma constante = 100

100=x*x  

10²=x² ==>x=10cm  e y= 10 cm é a resposta

Explicação passo-a-passo:

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