Question

Cálculo 1 - Calcule cada um dos limites:
a) lim x -> 1

x^2 - 3x +2/x^3 - x^2 + x - 1

Answer 1

Olá, Pedro!

Vamos resolver o limite:

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2-3x+2}{x^3-x^2+x-1}$

A primeira coisa que devemos notar é que se trata de uma divisão de polinômios. Se você substituir x por 1, notará que obteremos $\frac{0}{0}$.

O que concluímos com isso? Que 1 é raiz de ambos numerador e denominador.

Por isso, provavelmente poderemos colocar as duas partes em uma forma que cancela. Hmm... vamos lá!

Escrevamos o numerador como uma função de suas raízes:

$x^2 -3x+2$
$\Delta = (-3)^2 - 4(2)(1)=9 -8 = 1$
$x' = 1, x''=2$

Assim:

$x^2 -3x+2= 1(x-1)(x-2) = (x-1)(x-2)$

Ok. Vamos para o denominador. Ora, se 1 é uma de suas raízes, podemos escrevê-lo na forma:

$x^3-x^2+x-1=P(x)=(x-1)Q(x)$

E, claramente, desejamos encontrar o outro polinômio Q(x). Da relação acima, temos:

$Q(x)=\frac{P(x)}{(x-1)}$

Façamos:

$\[ \begin{array}{rl} x^3-x^2+x-1 & \multicolumn{1}{| l}{#x-1} \\ \cline{2-2} -x^3+x^2 \hfill & x^2 \\ \cline{0-2} x-1 \end{array} \]$

$\[ \begin{array}{rl} x^3-x^2+x-1 & \multicolumn{1}{| l}{#x-1} \\ \cline{2-2} -x^3+x^2 \hfill & x^2 +1 \\ \cline{0-2} x-1 \\ -x + 1 \\ \cline{0-2} \ 0 \end{array} \]$

Pronto! Portanto:

$x^3-x^2+x-1=(x-1)(x^2+1)$

Logo:

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2-3x+2}{x^3-x^2+x-1} =$
$\lim_{x \to 1} \frac{(x-1) (x-2)}{(x-1)(x^2+1)} =$
$\lim_{x \to 1} \frac{(x-2)}{(x^2+1)} =$
$\frac{(1-2)}{(1^2+1)} =$
$-\frac{1}{2}$

~

Espero ter ajudado, cheers!