Question

Calculem os valores das potências Z², Z³ e Z elevado a 9, sabendo que z = 2 (Cos de pi sobre 3 + i . sen de pi sobre 3).

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Renata, que a resolução é simples.
Tem-se que o complexo "z", na sua forma trigonométrica, é dado por:

z = 2*[cos(π/3) + isen(π/3)]

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Vamos calcular qual será a expressão que nos dá z². Assim, utilizando-se a fórmula de Moivre, teremos:

z² = 2²*[cos(2π/3) + isen(2π/3)] --- ou, o que é a mesma coisa:
z² = 4*[cos(2π/3) + isen(2π/3)] <--- Esta seria a representação trigonométrica de z², tendo por base a forma trigonométrica inicialmente dada de "z".

ii) Utilizando o mesmo raciocínio, vamos encontrar qual é a representação de z³. Assim:

z³ = 2³*[cos(3π/3) + isen(3π/3)] --- ou, o que é a mesma coisa (veja que 2³ = 8 e que 3π/3 = π, quando se divide "3" do numerador com "3" do denominador). Assim:
:
z³ = 8*[cos(π) + isen(π)] <--- Esta seria a representação trigonométrica de z³, tendo por base a forma trigonométrica inicialmente dada de "z".

iii) Finalmente vamos utilizar o mesmo raciocínio para encontrar a representação de z⁹. Assim:

z⁹ = 2⁹ * [cos(9π/3) + isen(9π/3)] ---- veja que 2⁹ = 512 e 9π/3 = 3π (quando se divide 9 do numerador com 3 do denominador). Assim:

z⁹ = 512*[(cos(3π) + isen(3π)] <--- Esta seria a representação trigonométrica de z⁹, tendo por base a forma trigonométrica inicialmente dada de "z".

Agora veja que demos, até agora, a forma trigonométrica de "z".
Aí você poderia perguntar: e qual seria a forma algébrica de cada complexo "z" dado?.
Bem, para ir para a forma algébrica, então basta transformar os arcos dados no seu valor respectivo e teremos a forma algébrica. Veja:

a) Para o complexo "z" inicial, temos que a sua fórmula trigonométrica era esta:

z = 2*[cos(π/3) + isen(π/3)] --- veja que π = 180º. Logo π/3 = 180º/3 = 60º. Assim, ficaríamos:

z = 2*[cos(60º) + isen(60º)] ---- como cos(60º = 1/2 e sen(60º = √(3)/2, teremos:

z = 2*[1/2 + i√(3)/2] ---- efetuando o produto indicado, teremos:
z = 2/2 + 2i√(3)/2 ---- dividindo-se numerador e denominador por "2", ficaremos apenas com:

z = 1 + i√(3) <--- Esta seria a forma algébrica do complexo "z" inicialmente dado.

b) Por sua vez, o z² seria:

z² = 4*[cos(2π/3) + isen(2π/3)] ---- como π =180º, então 2π/3 será: 2*180º/3 = 360º/3 = 120º. Assim:

z² = 4*[cos(120º) +isen(120º)] ---- veja que cos(120º) = -cos(*60º) = -1/2; e sen(120º) = sen(60º) = √(3)/2. Assim:

z² = 4*[-1/2 + i√(3)/2)] ---- efetuando o produto indicado, teremos:
z² = -4/2 + 4i√(3)/2 --- dividindo-se numerador e denominador por "2", termos:

z² = - 2 + 2i√(3)

c) o z³ seria:

z³ = 8*[cos(π) + isen(π)] ---- como π = 180º, então: cos(180º) = - 1 e sen(180º) = 0. Assim:

z³ = 8*(-1) + 8*i*0 --- ou apenas:
z³ = - 8  ------ se você quiser, poderá representar a parte imaginária por "0i". Assim, z³ também poderia ser representado assim, o que é a mesma coisa;

z³ = -8 + 0i

d) Finalmente o z⁹ seria representado, algebricamente, da seguinte forma:

z⁹ = 512*[cos(3π) + isen(3π)] --- veja que 3π = 3*180º = 540º. Assim:
z⁹ = 512*[cos(540º) + isen(540º)]

Agora veja que:

cos(540º) = cos(360º + 180º) = cos(180º) = - 1 
e
sen(540º) = cos(360º+180º) =  sen(180º) = 0

Assim, fazendo as devidas substituições, teremos:

z⁹ = 512*[-1 + i*0] ---- ou apenas:
z⁹ = 512*[-1 + 0] ---- efetuando o produto, teremos:
z⁹ = - 512 + 0 --- ou apenas:
z⁹ = -512 ------ se quiser representar a parte imaginária por 0i você fará:
z⁹ = -512 + 0i.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.